Question

Considerando que a sentença abaixo a lei de associação de uma função bijetora, obter a lei de associação da inversa dessa função

f(x) = 2x / 3x - 1​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos concluir que a inversa da função dada, é: $\boxed{\bf f {}^{ - 1} (x) = \frac{x}{3x - 2}}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: f(x) = \frac{2x}{3x - 1}$

O objetivo é encontrarmos a função inversa.

• Função Bijetora:

Para que uma função possua inversa, ela necessariamente deve ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

• Cada elemento do domínio deve possuir apenas um elemento correspondente no contradomínio que seja imagem da função e o contradomínio deve ser sempre igual a imagem.

Isso ocorre pelo motivo de que quando fazemos a inversão da função, corre o risco de um elemento do domínio possuir duas imagens, e pela definição de função, sabemos que cada elemento do domínio "flechar" apenas um no contradomínio.

• Função inversa:

Para determinar uma função inversa, basta invertermos as variáveis da função e depois isolar aquela que inicialmente aquela que corresponde a função em si.

• Como por exemplo, se a função é $\bf y = x+2$, ao final teremos que isolar a variável y.

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Sabendo de tudo, isso vamos aplicar esta ideia para encontrarmos a inversa.

• Invertendo as variáveis:

$f(x) = \frac{2x}{3x - 1} \: \to \: x = \frac{2f(x)}{3f(x) - 1}$

• Isolando f(x):

$(3f(x) - 1) \: . \: x = 2f(x) \: \to \: 3xf(x) - x = 2f(x) \\ \\ 3xf(x) - 2f(x) = x \: \to \: f(x) \: . \: (3x - 2) = x \\ \\ \bf f(x) = \frac{x}{3x - 2}$

Para indentificarmos que é uma função inversa, devemos trocar a notação de f(x) para $\bf f^{-1}(x)$. Portanto:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf f {}^{ - 1} (x) = \frac{x}{3x - 2}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Se uma função f admite função inversa, dizemos que f é invertível.

• Para que uma função f seja invertível, ela deve ser bijetora.

• Se uma função f é invertível, então D( f ) = Im ( f^-1 ) e D( f^-1 ) = Im( f ).

A inversa de uma função bijetora f: A -> B é a função f^-1: B -> A tal que:

f( x ) = y <--> f^-1 ( y ) = x

para quaisquer x e y, com x ∈ A e y ∈ B.

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A expressão da função inversa pode ser obtida de modo prático por:

I: trocamos x por y e y por x, obtendo - se x = f ( y ).

II: Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis efetuada em ( I ), obtendo a expressão y = ( f^-1 ) ( x ).

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Agora irei resolver o exercício acima:

f( x ) = 2x / 3x - 1

Utilizando o método prático teremos:

I: trocamos x por y e y por x, obtendo - se:

y = 2x / 3x - 1 --> x = 2y / 3y - 1

II: Isolamos a variável y, após a mudança se variáveis efetuada em ( I ):

x = 2y / 3y - 1 --> ( 3y - 1 )x = 2y

( 3y - 1 )x = 2y --> 3xy - x = 2y

3xy - 2y = x --> y( 3x - 2 ) = x

y = x / ( 3x - 2 ) ou f^-1 ( x ) = x / ( 3x - 2 )