Considerando que a moto apresenta aceleração constante de 8,40 m/s2 e velocidade máxima de 58,8 m/s, e o carro aceleração de 5,60 m/s2 e velocidade máxima de 106 m/s.
a) Determine quanto tempo o carro leva para alcançar a moto após a largada?
Soluções para a tarefa
Após 29,1 segundos, o carro alcançou a moto.
O que é equação horária do espaço?
Define-se equação horária do espaço aquela função em que o tempo é a variável independente e o espaço é a variável dependente do tempo. Em termos físicos,
- em um movimento retilíneo uniforme (M.R.U), a velocidade é constante, portanto a fórmula é a seguinte:
S(t) = So + V.t
- em um movimento retilíneo uniformemente variado (M.R.U.V), isto é onde há aceleração constante, a equação é expressa por:
S(t) = So + Vo.t + at²/2
Onde:
- S(t) é a posição final, em um tempo t, em metros..
- So é a posição inicial em metros.
- Vo é a velocidade inicial em m/s.
- a é a aceleração em m/s².
- t é o tempo em segundos.
Da expressão do MRUV, desenvolve-se a equação de Torricelli:
V² = Vo² + 2.a.(S-So)
Que também será utilizada nesse problema.
Como resolver a questão?
De início, ambos movimentos se tratam de um MRUV. Nesse sentido, supondo que ambos o carro e a moto partam do repouso do mesmo ponto, então vamos encontrar pela equação de Torricelli em que ponto eles atingem a velocidade máxima.
Para a moto:
- MRUV:
S(t) = 8,4.t²/2
- Torricelli:
58,8² = 0² + 2.8,40.(Sm-0)
Sm = 205,8
- MRU:
S(t) = So + V.t
S(t) = 205,8 + 58,8.t
Ou seja, em S = 205,8 metros a moto atinge a velocidade máxima e depois passa a andar em MRU (movimento retilíneo uniforme) com velocidade de 58,8 m/s.
Para o carro:
- MRUV:
S(t) = 5,6.t²/2
- Torricelli:
106² = 0² + 2.5,6.(Sc-0)
Sc = 1003,2
- MRU:
S(t) = So + V.t
S(t) = 1003,2 + 106.t
Assim, em S = 1003,2 metros o carro atinge a velocidade máxima e depois passa a andar em MRU com velocidade constante de 106 m/s.
Temos que descobrir quando foi feita a ultrapassagem. É evidente que enquanto ambos estavam em MRUV é impossível o carro ultrapassar a moto, afinal a aceleração da moto é maior.
Dessa maneira, só nos resta saber se a ultrapassagem foi feita enquanto a moto estava em MRU e o carro em MRUV ou enquanto ambos estavam em MRU. Vamos tentar os dois casos, onde igualaremos as equações correspondentes.
1. Moto MRU e carro MRUV.
Pela fórmula da aceleração para a moto,
a = ΔV/Δt
8,4 = (58,8 - 0)/Δt
Δt = 7 segundos
Quando a moto iniciar seu MRU, terão se passados 7 segundos. Nesse meio-tempo, o carro chegará ao espaço:
Sc(7) = 5,6.(7)²/2
Sc(7) = 137,2 metros
Enquanto a moto estará em Sm = 205,3 metros.
Dessa forma, a equação do carro terá So = 137,2 m, e assim podemos igualar o MRU em Sm(t) com o MRUV em Sc(t).
205,8 + 58,8.t = 137,2 + 5,6.t²/2
⇒ t ≈ 22,1 segundos
2. Moto e carro em MRU.
205,8 + 58,8.t = 1003,2 + 106.t
⇒ t ≈ -16,9 segundos
É evidente que não existe tempo negativo, portanto o caso 2 é impossível e o caso 1 foi o que realmente aconteceu.
Note que a resposta ainda não é 22,1 s, pois ainda falta contar o tempo em que moto percorreu até chegar na velocidade máxima. Pela equação da aceleração, já encontramos esse valor: 7 segundos.
Isso significa que o tempo que o carro alcança a moto é de 22,1 + 7 = 29,1 segundos.
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