considerando os pontos A1 = (-1,4), A2 = (2,-2), F1 = (0,2) e F2 = (1,0). Determine a equação geral da elipse E com focos F1 e F2 e eixo maior o segmento A1A2
Soluções para a tarefa
Resposta:
A equação geral da elipse é x² + y² - x - 2y - 20 = 0
Explicação passo a passo:
Seja P(x, y) um ponto qualquer da elipse em questão e seus respectivos focos F1(0, 2) e F2(1, 0). Pela definição de elipse devemos ter:
d(PF1) + d(PF2) = 2a, 2a comprimento do eixo maior tal que:
√(x - 0)² + (y - 2)² + √(x - 1)² + (y - 0)² = 2a
√x² + (y² - 4y + 4) + √(x² - 2x + 1) + y² = 2a
√x² + y² - 4y + 4 + x² - 2x + 1 + y² = 2a
√2x² + 2y² - 2x - 4y + 5 = 2a, ( I )
Por outro lado, d(A1A2) = 2a:
√(-1 - (2)² + (4 - (-2))² = 2a
√(-3)² + (4 + 2)² = 2a
√9 + 6² = 2a
√9 + 36 = 2a
√45 = 2a, ( II )
Igualando ( I ) e (II ) fica:
√2x² + 2y² - 2x - 4y + 5 = √45
Elevando ao quadrado ambos membros da igualdade fica:
(√2x² + 2y² - 2x - 4y + 5)² = (√45)²
2x² + 2y² - 2x - 4y + 5 = 45
2x² + 2y² - 2x - 4y + 5 - 45 = 0
2x² + 2y² - 2x - 4y - 40 = 0
Simplificando por 2 temos:
(2x² + 2y² - 2x - 4y - 40) / 2 = 0 / 2
x² + y² - x - 2y - 20 = 0, que é a equação geral da elipse.
@sepauto
Sebastião Paulo Tonolli
09/10/2022
SSRC