Question

Considerando os pontos A (-1;3 ) B (2;5) e C (x;-3)
Determine o valor de x para que a área de um triângulo seja 0

Answer 1

Dado três pontos, podemos determinar a área de um triangulo pela equação:

$Area~=~\frac{1}{2}~.~\left|\left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right|\right|\\\\\\0~=~\frac{1}{2}~.~\left|\left|\begin{array}{ccc}-1&3&1\\2&5&1\\x&-3&1\end{array}\right|\right|\\\\\\0~=~\frac{1}{2}\,.\,\left|(~(-1).5.1+2.(-3).1+x.3.1~)-(~1.5.x+1.(-3).(-1)+1.3.2~)\right|\\\\\\0~=~\frac{1}{2}\,.\,\left|(~-5-6+3x~)-(~5x+3+6~)\right|\\\\\\0~=~\frac{1}{2}\,.\,\left|-2x-20\right|\\\\\\\left|-2x-20\right|~=~0\\\\\\-2x-20~=~0\\\\\\2x~=~-20\\\\\\\boxed{x~=~-10}$

Outra forma possível de resolução, seria perceber que, para tres pontos diferentes não formarem um triangulo, estes pontos devem estar alinhados (são colineares).

Para 3 pontos serem colineares, o determinante da matriz formada por eles deve valer 0 (zero).