Question

Considerando os números complexos z e w tais que z + w = (9 –$3\sqrt[2]{3}$) + i(9 –$3\sqrt[2]{3}$)ez –w = (–3 + $3\sqrt[2]{3}$) + i(3 –$3\sqrt[2]{3}$), determine a área do paralelogramo de lados z e w, sabendo-se que o ângulo entre eles é $\frac{3}{\pi }$

Answer 1

A área do paralelogramo será de 11,14 u.a.

Números complexos

Dadas as equações com os números z e w, temos

z + w = (9 - 3√3) + i·(9 - 3√3)

z - w = (-3 + 3√3) + i·(3 - 3√3)

Somando as equações, excluímos w:

2z = (9 - 3√3) + i·(9 - 3√3) + (-3 + 3√3) + i·(3 - 3√3)

2z = 6 + i·(12 - 6√3)

z = 3 + i·(6 - 3√3)

Substituindo z na segunda equação:

3 + i·(6 - 3√3) - w = (-3 + 3√3) + i·(3 - 3√3)

w = 3 + i·(6 - 3√3) - (-3 + 3√3) - i·(3 - 3√3)

w = (6 - 3√3) + i·3

Teremos:

z = (3, 6 - 3√3)

w = (6 - 3√3, 3)

Calculando os módulos:

|z|² = |w|² = (6 - 3√3)² + 3²

|z|² = |w|² = 36 - 36√3 + 27 + 9

|z|² = |w| = √36·(2 - √3)

|z|² = |w| = 6·√(2 - √3)

Esse paralelogramo tem base z e altura dada por:

sen π/3 = |w|/h

Portanto:

h = 6·√(2 - √3)/(√3/2)

h = 3,586

Sua área será:

A = h·|z|

A = 3,586·6·√(2 - √3)

A = 11,14 u.a.

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