Question

Considerando os números complexos a = 6 - i e b = -5 + 2i. Determine o valor de:

a) a²
b) b²
c) a . b
d) (a + b)²
e) (a + b)^6

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação:

Explicação passo a passo:

Seja os números complexos:

         $a = 6 - i\\b = -5 + 2i$

a)

      $a^{2} = (6 - i)^{2}$

           $= 36 - 6i - 6i + i^{2}$

           $= 36 - 12i + (-1)$

           $= 35 - 12i$

b)

       $b^{2} = (-5 + 2i)^{2}$

           $= 25 - 10i - 10i + 4i^{2}$

           $= 25 - 20i + 4.(-1)$

           $= 21 - 10i$

c)

       $a.b = (6 - i).(-5 + 2i)$

            $= -30 + 5i + 12i - 2i^{2}$

            $= -30 + 17i - 2.(-1)$

           $= -28 + 17i$

d)

     $(a + b)^{2} =[(6 - i) + (-5 + 2i)]^{2}$

                  $= [6 - i -5 + 2i]^{2}$

                  $= [1 + i]^{2}$

                  $= 1 + i + i + i^{2}$

                  $= 1 + 2i + (-1)$

                  $= 2i$

e)

  Se:

       $a + b = 1 + i$

  Então:

       $P = \sqrt{1^{2} + 1^{2} } = \sqrt{2}$

       $sen\beta = \frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } .\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2}$

      $cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } . \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

  ângulo β cujo sen β = √2/2 e cos β = √2/2 é:

                   β = 45° = π/4Rad        

Então:

       $(1 + i)^{6} = P^{6}. [cos(6.\beta ) + i.sen(6.\beta )]$

                    $= (\sqrt{2} )^{6} . [cos.(6.\frac{\pi }{4} ) + i.sen.(6.\frac{\pi }{4} )]$

                    $= 2^{3}. [cos.\frac{3\pi }{2} + i.sen.\frac{3\pi }{2} ]$

                    $= 8.[cos.\frac{3\pi }{2} + isen.\frac{3\pi }{2} ]$

   ângulo α  = 3π/2 = 270°, então:

               sen 270° = -1

               cos 270° = 0

   Então:

              $(1 + i)^{6} = 8.[cos.\frac{3\pi }{2} + i.sen.\frac{3\pi }{2} ]$

                           $= 8.[0 + i.(-1)]$

                            $= -8i$

 Portanto:

               $(1 + i)^{6} = -8i$

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