Question

CONSIDERANDO OS CONTEUDOS DO LIVRO BASE ALGEBRA LINEAR, SOBRE BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL E OS VETORES U=(1,-1,-2), V=(2,1,1) E W=(K,0,3). DETERMINE O VALOR DE K PARA QUE OS VETORES U, V E W FORMEM UMA BASE DO R³. APRESENTE A RESOLUÇÃO DA QUESTAO.

Answer 1

O valor de k deverá ser diferente de -9.

Para que os vetores u = (1,-1,-2), v = (2,1,1) e w = (k,0,3) formem uma base para o R³, eles deverão ser linearmente independentes.

Para calcularmos o valor de k, devemos calcular o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\2&1&1\\k&0&3\end{array}\right]$.

Podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem três pelo Teorema de Laplace.

Dito isso, temos que:

det = 1(1.3 - 0.1) - (-1)(2.3 - k.1) + (-2)(2.0 - k.1)

det = 3 + (6 - k) - 2(-k)

det = 3 + 6 - k + 2k

det = 9 + k.

Como os vetores deverão ser linearmente independentes, então o determinante tem que ser diferente de zero.

Logo, o valor de k é:

k + 9 ≠ 0

k ≠ -9.