Question

Considerando os conjuntos A, B, C e D e suas intersecções, não existem elementos nas intersecções de 3 ou 4 desses conjuntos. Nas intersecções de exatamente 2 desses conjuntos, existe o mesmo número de elementos em A ∩ B, A ∩ D, B ∩ C e C ∩ D; porém, não existem elementos em A ∩ C e nem em B ∩ D. O número de elementos de cada conjunto A, B, C e D é, respectivamente, 20, 16, 19 e 17. O total de elementos que pertencem a apenas um desses conjuntos é igual a 32. O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A excede o número de elementos que pertencem ao conjunto D em A. 3.

Answer 1

Olá para resolver a questão fica mas simples usar o diagrama de Venn (Imagem 1 e 2), desenvolvendo equações para cada conjunto. Com base aos dados do enunciado, o número de elementos pertencentes a cada um desses conjuntos A, B, C e D é:


$A= a + x + x= 20$     

$A= a +2x= 20$     equação () 


$B= b + x + x = 16$   

$B= b + 2x = 16$    equação ()


$C= c + x + x = 19$     

$C= c + 2x = 19$     equação ()


$D= d + x + x = 17$   

tex]D= d + 2x = 17[/tex]    equação ()

Agora sabemos que o total de elementos que pertencem a apenas um desses conjuntos é igual a 32; ou seja, que os elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos são os elementos que não pertencem a nenhuma das intersecções fornecidas, porque são  os elementos de a,b,c e d; temos então:


$a+b+c+d = 32$

Agora vamos a resolver o sistemas de equações, somando todas elas.


 $A= a +2x= 20 B= b + 2x = 16 C= c + 2x = 19 D= d + 2x = 17$

$a+b+c+d+8x = 20+16+19+17$


Lembrando que $a+b+c+d = 32$ substituimos:


$32 + 8x = 72$

$8x = 72-32$

$8x = 40$

$x = \frac{40}{8} = 5$

Assim podese calcular os elementos que pertenecem somente a A, sabendo que:

$A= a +2x= 20$

$a + 2(5) = 20$

$a = 20 - 10 = 10$


Agora os elementos que pertenecem a D são:

$D= d + 2x = 17$

$d + 2(5) = 17$

$d = 17 - 10 = 7$

Assim temos que  existem só 10 elementos que pertencem ao conjunto A, de modo que esse número é menor que o número de elementos que pertencem ao conjunto D (7)

Acho que você quer saber o número de elementos pertencentes ao conjunto A  que excede o número de elementos pertencentes ao conjunto D. 

Assim temos que a diferença de A e B nos dará o número de elementos que foram excedidos, então:

$A - D = 10 - 7 = 3$