Question

Considerando os conceitos de produtos notáveis, sabendo que √x + √y = 6 e x + y = 32, então quanto vale x.y ?

Answer 1

x + y = 32 ⇒ x = 32 - y

Substituindo na outra equação, fica:

√32 - y   +   √y   = 6

(√32 - y   +   √y)²   = 6²

32 - y + 2√y(32 - y)  + y = 36 ⇒ 2√y(32 - y) = 36 - 32

2√y(32 - y) = 4 ⇒ √y(32 - y) = 4/2

√32y - y²   = 2

(√32y - y²)² = 2² ⇒ 32y - y² = 4 ⇒ -y² + 32y - 4 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = 32² - 4.(-1).(-4) = 1024 - 16 = 1008

x = (-b +-√Δ) / 2a
y = (-32 +- √1008) / 2.(-1) = (-32 +- √2².2².3².7) / -2 = (-32 +- 2.2.3√7) / -2 =
= (-32 +- 12√7) -2 = -4(8 -+ 3√7) / -2 = 2(8 -+ 3√7)

Mas x = 32 - y

Logo, x = 32 - 2(8 -+ 3√7) = 32 - 16 +- 6√7 = 16 +- 6√7 = 2(8 +- 3√7)

x.y = 2(8 - 3√7).2(8 + 3√7) = 4(64 - 9.7) = 4(64 - 63) = 4.1 = 4

Usando as outras raízes, obtemos o mesmo resultado. Veja:

x.y = 2(8 + 3√7).2(8 - 3√7) = 4(64 - 9.7) = 4(64 - 63) = 4.1 = 4

Portanto, x.y vale 4

Answer 2

O valor de xy é 4.

• Dada a equação $\large \sf \sqrt x + \sqrt y = 6$, Eleve ambos os membros ao quadrado considerando os conceitos de produtos notáveis.

$\large \sf \left( \sqrt x + \sqrt y\right)^2 = 6^2$

$\large \sf x + 2\cdot \sqrt x \cdot \sqrt y + y= 36$ ⟹ Substitua o valor de x + y.

$\large \sf 2\cdot \sqrt {xy} + 32 = 36$ ⟹ Subtraia 32 de ambos os membros.

$\large \sf 2\cdot \sqrt {xy} = 4$ ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf \sqrt {xy} = 2$ ⟹ Eleve ambos os membros ao quadrado.

$\boxed {\large \sf {x\cdot y} = 4}$

O valor de xy é 4.

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