Question

Considerando o universo IR, obtenha o conjunto solução das equações:
a)$25^{x} - 6 . 5^{x} + 5=0$
b)$49^{x} - 6 . 7^{x} - 7=0$

Answer 1

Resposta:

a) x = 1  ∨  x = 0

b)  x = 1

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Considerando o universo IR, obtenha o conjunto solução das equações:

a) $25^{x} -6*5^{x} +5=0$

b) $49^{x} -6*7^{x} -7=0$

Resolução:

Em ambas as equações vou mostrar que são equações do 2º grau.

a)

$25^{x} =(5^{2}) ^{x} = (5^{x}) ^{2}$  

Quando tem-se potência de potência é irrelevante as localizações dos expoentes.

Porque 5 * x = 5x    e    x * 5 = 5x

$(5^{x} )^{2} -6*5^{x} +5 = 0$

Equação de 2º grau, sendo a incógnita    $5^{x}$

Fórmula de Bhaskara  

$5^{x} = \frac{-(-6)+\sqrt{6^{2}-4*1*5 } }{2*1}$       ∨    $5^{x} = \frac{-(-6)-\sqrt{6^{2}-4*1*5 } }{2*1}$    

$5^{x} =\frac{6+4}{2}$    ∨    $5^{x} =\frac{6-4}{2}$

$5^{x} = 5^{1}$    ∨   $5^{x} = 1$    

( que pode se apresentar como $5^{x} =5^{0}$ )

Pois qualquer número ,diferente de zero, elevado a zero dá 1.

x = 1  ∨  x = 0

b)

$49^{x} =( 7^{x}) ^{2}$

$(7^{x} )^{2} - 6 * 7^{x} - 7 = 0$

Equação de 2º grau, sendo a incógnita    $7^{x}$

Fórmula de Bhaskara

$7^{x} =\frac{-(-6)+\sqrt{36+28} }{2*1}$     ∨     $7^{x} =\frac{-(-6)-\sqrt{36+28} }{2*1}$  

$7^{x} = \frac{14}{2}$     ∨     $7^{x} =\frac{- 2}{2}$

$7^{x} = 7^{1}$      ∨     $7^{x} = -1$

Qualquer que seja o valor real de " x ", nunca  $7^{x}$  será negativo.

Esta solução tem que ser rejeitada.

Logo x = 1

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação   ( ∨ )  ou