Question

Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico da função f ( x ) = x + 2 no intervalo limitado por x = 0 e x = 2 .

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{6}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos esta integral, devemos relembrar alguns conceitos. Pede-se que calculemos a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico da função $f(x)=x+2$. Lembre-se que ao calcularmos áreas entre funções, devemos analisar corretamente como elas se comportam no intervalo.

Observe que o eixo x, ou eixo das abscissas tem inclinação zero. De fato, sempre que calculamos a integral de alguma função, ela é dada pela área sob a curva até o eixo, sendo aquelas que estão abaixo apenas as mesmas áreas, porém negativas.

Então, calculemos a integral:

$\displaystyle{\int_0^2x+2\,dx}}$

Neste caso, aplicaremos algumas propriedades simples:

• $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx =\int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx}}$, em que $f(x)$ e $g(x)$ são  funções contínuas no intervalo dado.

• $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$. Porém, como se trata de uma integral definida, não precisaremos adicionar a constante de integração $C$.

• $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}}$, na qual $a$ é uma constante.

• $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, ou teorema fundamental do cálculo, no qual $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$.

Aplicando a primeira propriedade, ficaremos com:

$\displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = \int_0^2 x\,dx + \int_0^2 2\,dx}$

Aplicando as propriedades dois e três, temos:

$\displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = \dfrac{x^{1+1}}{1+1}\biggr|_0^2 + 2\cdot x\biggr|_0^2}$

Some os valores e aplique a quarta propriedade

$\displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}\biggr|_0^2 + 2\cdot x\biggr|_0^2}\\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^2}{2} + 2\cdot (2-0)$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = \dfrac{4}{2}+4}\\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2 x + 2\,dx = 6$

Esta é a área da região compreendida entre o gráfico da função e o eixo das abscissas.

Answer 2

Resposta:

6

Explicação passo a passo: