Question

Considerando o gráfico abaixo, determine as equações das retas que passam
pelo ponto P(1,-3) e é:
a)
Paralela a reta r
b) Perpendicular a reta r

Answer 1

Usando as noções dos declives de retas paralelas e perpendiculares à

reta que passa por ( - 1; 0 ) e (  0 ; - 2 ) obtemos os resultados:

$a) y = - 2x - 1$                     $b) y= \dfrac{1}{2}*x-\dfrac{7}{2}$

( ver gráficos em anexo )

 

a)

Observação 1 → Retas paralelas

São aquelas que têm o mesmo coeficiente angular ( também chamado

de declive  = m)

A reta da figura passa pelos pontos

• A ( - 1 ; 0 )
• B ( 0 ; - 2 )      

O coeficiente angular pode ser determinado pela seguinte fórmula:

$m=\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} }$

Neste caso

$m=\dfrac{{- 2 - 0} }{0-(-1) }$

$m=\dfrac{{- 2 - 0} }{0-(-1) }= \dfrac{-2}{1} =-2$

A reta desenhada no gráfico tem declive  m = - 2

A equação da reta paralela e que passe pelo ponto P  ( 1 ; - 3 )

Usemos as coordenadas deste ponto e o declive para encontrar a reta

paralela    

y = ax + b  

y = - 2 * x + b

- 3 = -2 * 1 + b

- 3 + 2 = b

b = - 1

A equação da reta paralela será :

y = - 2 x  - 1            

b)

Observação 1 → Retas perpendicular

São aquelas que cujo coeficiente angular ( = declive ) tem a seguinte relação com uma outra reta.

Declive da reta dada = m

Declive da reta perpendicular = - 1 / m

Reta perpendicular

Declive = - 1 / ( - 2) = 1/2

Cálculo do "b"

y = 1/2 * x + b

Usando as coordenadas do ponto P ( 1 ; - 3 )

$- 3 = \dfrac{1}{2} * 1 + b$

$-\dfrac{3}{1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{b}{1}$

As frações com denominador 1 vão ter seus numeradores e denominadores multiplicados por 2, para que todas as frações tenham o mesmo denominador.

$-\dfrac{3*2}{1*2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{b*2}{1*2}$

$-\dfrac{6}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2b}{2}$

Denominadores iguais " vou os retirar "

- 6 = 1 + 2b

- 6 - 1 = 2b

- 7 = 2b

- 7/2 = 2b/2

b = - 7/2

A equação perpendicular é :

$y= \dfrac{1}{2}*x-\dfrac{7}{2}$

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Observação  → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem,

mudam seu sinal.

Exemplo

- ( - 1 ) = + 1 = 1

Bons estudos.

Att: Duarte Morgado

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( * )   multiplicação      ( / )   divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.