Question

Considerando o desenvolvimento do binômio (x - 1/x²)elevado a 10, calcule : a) o termo médio b) o termo independente de x V

Answer 1

Vamos usar essa fórmula, para encontrar o valor desses dois itens:

$\boxed{ \sf T_{p+1} = \binom{n}{p} a {}^{n - p} b {}^{p} }$

Essa fórmula é chamada de termo geral do binômio.

• "n" é o expoente do binômio;
• "p" é a "posição";
• "a" é o primeiro termo do binômio;
• "b" é o segundo termo do binômio.

Sabendo disso, vamos partir para os cálculos:

a) Termo médio:

Como sabemos que esse binômio está elevado a 10, para encontrar o termo médio, basta dividir o número 10 por 2 e somar mais 1.

$\sf (10 \div 2 )+ 1 = 5 + 1 = \boxed{\sf 6}$

Agora vamos substituir esse dado na relação de "p":

$\sf p + 1 = 6 \\ \sf p = 6 - 1 \\ \boxed{\sf p = 5}$

Portanto valor de "P" será "5, então vamos substituir esses dados na fórmula:

$\sf (x - \frac{1}{x {}^{2} } ) {}^{10} \\ \\ \begin{cases} \sf n = 10 \\ \sf p = 5 \\ \sf a = x \\ \sf b = - \frac{1}{ x {}^{2} } \end{cases} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{n}{p} a {}^{n - p} b {}^{p} \\ \\ \sf T_{5} = \binom{10}{5} .x {}^{10 - 5} .( - \frac{1}{x {}^{2} } ) {}^{5} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{10 ! }{5!(10 - 5)!} .x {}^{5} .( - \frac{1 {}^{5} }{ x {}^{2.5} } ) \\ \\ \sf T_{5} = \frac{10 ! }{5!5!} .x {}^{5} . - \frac{1}{x {}^{10} } \\ \\ \sf T_{5} = \frac{10.9.8.7.6. \cancel5 !}{5.4.3.2.1 \cancel5!} . - \frac{x {}^{5} }{x {}^{10} } \\ \\ \sf T_{5} = \frac{30240}{120} . - x {}^{5 - 10} \\ \\ \sf T_{5} = - 252x {}^{ - 5} \\ \\ \sf T_{5} = - 252. \frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \boxed{\sf T_{5} = - \frac{252}{x {}^{5} } }$

Item b):

Vamos reescrever esse binômio e fazer uma coisinha:

$\sf (x - \frac{1}{x {}^{2} } ) {}^{10} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} .x {}^{10 - p} . ( - \frac{1}{x {}^{2} } ) {}^{p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} .x {}^{10 - p} .- \frac{1 {}^{p} }{(x {}^{2}) {}^{p} } \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} .x {}^{10 - p} . - \frac{1}{x {}^{2p} } \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p}. - \frac{ x {}^{10 - p} }{x {}^{2p} } \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} . - x {}^{10 - p - 2p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{10}{p} . - x {}^{10 - 3p}$

A questão diz que quer o termo independente, ou seja, o termo em "x" deve está elevado a "0", pois sendo assim ele perderá o caráter de incógnita, então vamos pegar a expressão do expoente e igualar a "0".

$\sf 10 - 3p = 0 \\ \sf 10 = 3p \\ \boxed{\sf p = \frac{10}{3} }$

Com isso, podemos dizer que não há tem independente de "x" nesse binômio.

Espero ter ajudado