Question

Considerando o conjunto Z+ e sabendo que A - C > 1, encontre o valor de "??".

ABC - CBA = XYZ

XYZ + ZYX = "??"​

Answer 1

Pelo enunciado:

$\left \begin{array}{crcr}&A & B & C \\ -&C & B & A\\ &X & Y & Z\end{array} \right$

Como $A>C+1$, sabemos que na subtração $C-A$, ocorrerá um 'empréstimo' de 10 unidades das dezenas.

$\left \begin{array}{crcr}&A & B-1 & 10+C \\ -&C & B & A\\ &X & Y & Z\end{array} \right$

Então podemos afirmar que $Z = 10+C-A$.

Como $B> B-1$, também poderemos afirmar que ocorrerá um 'empréstimo' de 10 dezenas das centenas.

$\left \begin{array}{crcr}&A-1 & B-1+10 & 10+C \\ -&C & B & A\\ &X & Y & Z\end{array} \right$

$\left \begin{array}{crcr}&A-1 & B+9 & 10+C \\ -&C & B & A\\ &X & Y & Z\end{array} \right$

Então podemos afirmar que $Y = B+9-B = 9$.

Por fim, como $A - C > 1$, podemos afirmar que $X = A-1-C$.

A questão pede $XYZ + ZYX$, chamemos a soma de K:

$K = XYZ + ZYX$

$K = (100X+10Y+Z) + (100Z+10Y+X)$

$K = 101\cdot(X+Z)+20\cdot Y$

Substituindo os valores encontrados:

$K = 101\cdot[(A-1-C)+(10+C-A)]+20\cdot9$

$K = 101\cdot9+20\cdot9$

$K = 9\cdot121$

$K = 1089$

Então o valor procurado é 1089.

Answer 2

Outra forma de "atacar" o problema e encontrar o valor da soma XYZ + ZYX é partir da subtração ABC – CBA = XYZ e proceder da seguinte maneira:

$\sf \qquad\quad\ \,ABC-CBA=XYZ\\ \\ \iff\ \ \ 100A+10B+C-(100C+10B+A)=XYZ\\ \\ \iff\ \ \ 100A-A+C-100C+10B-10B=XYZ\\ \\ \iff\ \ \ 99A-99C=XYZ\\ \\ \iff\ \ \ 99(A-C)=XYZ$

Como podemos ver, XYZ é um múltiplo positivo de 99, pois A – C > 1. É sabido que os dígitos A e C assumem valores de 0 a 9 (algarismos indo-arábicos), portanto, é válido afirmar que 2 ≤ A – C ≤ 9. Desta maneira, surgem os seguintes valores para o natural tridígito XYZ:

$\sf XYZ= \begin{cases}\sf 99\cdot 2=198\\ \sf 99\cdot 3=297\\ \sf 99\cdot 4=396\\ \sf 99\cdot 5=495\\ \sf 99\cdot 6=594\\ \sf 99\cdot 7=693\\ \sf 99\cdot 8=792\\ \sf 99\cdot 9=891\end{cases}$

Note ainda que os números equidistantes dos extremos na disposição acima são reversos, e sua soma é constante e igual a:

$\sf XYZ+ZYX=\begin{cases}\sf 198+891=1089\\ \sf 297+792=1089\\ \sf396+693=1089\\ \sf 495+594=1089\end{cases}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf XYZ+ZYX=1089}$