Question

Considerando:
n(A U B) = 24
n(A ∩ B) = 4
n(B U C) = 16
n(A - C) = 11
n(B - C) = 10

Calcule:
n(A - B) = ?
n(A U B U C) = ?
n(B - (C U A)) = ?

Obs: na imagem o 6 e o 10 não fazem parte da questão, só dá resposta que eu estava tentando fazer mas n sai dali!

Answer 1

$Vou \ representar \ todas \ as \ partes \ dos \ conjuntos \ por \ inc\acute{o}gnitas \\ espec\acute{i}ficas \ , \ ent\tilde{a}o \ olhar \ anexo \ antes \ de \ come\c{c}ar.$

$n(A \ \cup \ B ) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x+y+z+p+q \ = \ 24 \ \ \ \ \ \ (1) \\ n(A \ \cap \ B ) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ y+ z \ = \ 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ n(B \ \cup \ C) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ y+z+p+q \ = \ 16 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ n(A \ - \ C ) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x+y \ = \ 11 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) \\ n(B \ - \ C) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ q+y \ = \ 10 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

$a) \ \ n \Big( \ A-B \ \Big) \ = \ x \ , \ ent\tilde{a}o \ utilizando \ as \ equa\c{c}\tilde{o}es \ (1) \ e \ (3) \ : \\ \\ \left\{\begin{matrix} x & +y & +z & +p & +q & = & 24 \\ & +y & +z & +p & +q & = & 16 \end{matrix}\right. \\ \\ \\ Multplicando \ a \ 2^\circ \ linha \ por \ -1 \ e \ somando-a \ a \ 1^\circ \ : \\ \\ x+y-y+z-z+p-p+q-q \ = \ 24 - 16 \\ x \ = \ 8 \\ \\ Logo \ n(A-B) \ = \ 8$

$b) \ \ n \Big(A \ \cup \ B \ \cup \ C \Big ) \ , \\ \\ Devido \ ao \ fato \ de \ C \ ser \ subconjunto \ de \ B \ , \ ent\tilde{a}o \ todos \\ elementos \ do \ conjunto \ C \ s\tilde{a}o \ comuns \ a \ B \ . \ Tendo \ isso \\ em \ vista \ podemos \ afirmar \ que \ : \\ \\ \boxed{n\Big( \ A \ \cup \ B \ \cup \ C \ \Big) \ = \ n\Big( \ A \ \cup \ B \ \Big)}$

$c) \ \ n \Big( \ B \ - \ ( A \ \cup \ C \ ) \Big) \ = \ q \ , \ ent\tilde{a}o \ utilizando \ as \ equa\c{c}\tilde{o}es \\ (4) \ e \ (5) \ : \\ \\ \left\{\begin{matrix} x & +y & = & 11 \\ q & +y & = & 10 \end{matrix}\right.$

$Multplicando \ a \ linha \ 2^\circ \ por \ -1 \ e \ somando-a \ a \ 1^\circ \ linha \ , \\ \\ x+y-q-y \ = \ 11-10 \\ \\ x-q \ = \ 1 \\ \\ Lembrando \ que \ x=8 \ , \\ \\ 8-q=1 \\ q \ = \ 7 \\ \\ Logo \ n \Big(B-(A \ \cup \ C )\Big) \ = \ 7$

$d) \ \ n\Big( \ A \ \cap \ B \ \cap \ C \ \Big) \ = \ z \ , \ utilizando \ (2) \ e \ (4) \ : \\ \\ \left\{\begin{matrix} y & +z & = & 4 \\ x & +y & = & 11 \end{matrix}\right. \\ \\ Multiplicando \ a \ 1^\circ \ linha \ por \ -1 \ e \ somando-a \ a \ 2^\circ \ linha \ , \\ \\ -y-z+x+y=-4+11 \\ x-z=7 \\ \\ Sabendo \ que \ x=8 \ , \\ \\ 8-z = 7 \\ z \ = \ 1$

$Logo \ \ \ n\Big( \ A \ \cap \ B \ \cap \ C \ \Big) \ = \ 1$