Question

considerando log 2 = 0,301, quantos algarismos tem o número 2¹ººº ?

Answer 1

Com notação científica é possível dizer quantos algarismos tem um número, por exemplo:

7 × 10²

Se a gente pegar o expoente do 10 e somar com 1, a gente descobre que ele tem 3 algarismos, independentemente do 7.

Sendo assim, nós podemos igualar 2^(1000) a 10^(x), e em seguida somar 1:

$\displaystyle 2^{1000} = 10^x$

Aplicando logaritmo nos dois lados, fica assim:

$\displaystyle \log{2^{1000}}=\log{10^x}$

Agora nós podemos usar essa propriedade:

$\displaystyle \log{a^b} = b \cdot \log{a}$

Dessa forma,

$\displaystyle \log{2^{1000}}=\log{10^x}$

$\displaystyle 1000 \cdot \log 2 = x \cdot \log{10}$

Agora veja, em todo logaritmo se a base está omitida, então é porque ela vale 10. Ou seja,

$\displaystyle \log{10} = \log_{10}{10}$

E além disso, quando a base e o logaritmando são iguais, o logaritmo vale 1. Sendo assim,

$\displaystyle 1000 \cdot 0{,}301 = x$

$\displaystyle x=301$

Veja,

$\displaystyle 2^{1000} = 10^{301}$

Portanto, 2^(1000) possui 302 algarismos.