Question

Considerando log 2= 0,3 calcule: log√0,2

Answer 1

Vamos começar reescrevendo o radical dado como um potência de expoente fracionário  $\boxed{\sf \sqrt[b]{a^c}~=~a^\frac{c}{b}}$.

Assim, temos:

$\sf \log\,\sqrt{0,2}~=~\log\,0,2^{\frac{1}{2}}$

Perceba que, se utilizarmos a propriedade do logaritmo da potência (mostrada a seguir), podemos "mover" o expoente 1/2 para fora do logaritmo.

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~~\boxed{\sf \log_ba^c=c\cdot \log_ba}$

Assim, ficamos com:

$\sf \log\sqrt{0,2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot \log0,2$

O próximo passo aqui será reescrever o logaritmando na sua forma fracionária para que, posteriormente, possamos utilizar a propriedade do logaritmo do quociente mostrada abaixo.

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}$

$\sf \log\sqrt{0,2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot \log\left(\dfrac{2}{10}\right)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~do~quociente:\\\\\\\log\sqrt{0,2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot\left( \log2-\log10\right)$

Por fim, podemos substituir o valor dos logaritmos conhecidos para determinar o valor do logaritmo solicitado.

$\log\sqrt{0,2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot \left(0,3-1\right)\\\\\\\log\sqrt{0,2}~=~\dfrac{1}{2}\cdot \left(-0,7\right)\\\\\\\boxed{\log\sqrt{0,2}~=\,-0,35}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$