Question

Considerando f e g funções de IR em IR tal que f(x)=sen x e g(x)=cos x:

b) determine x E (0,2pi) tal que f(x)=g(x).
c) determine se existe x E IR tal que pi/2 < x < pi e f(x)=g(x), justifique.

Answer 1

Identidades utilizadas:

$\begin{array}{rclc} \cos \alpha&=&\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right )&\;\;\;\;\text{(i)}\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha-\mathrm{sen\,}\beta&=&2\cdot \mathrm{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2} \right )\cdot \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right )&\;\;\;\;\text{(ii)} \end{array}$


$\bullet\;\;f\left(x \right )=\mathrm{sen\,}x\\ \\ \bullet\;\;g\left(x \right )=\cos x$


$f\left(x \right )=g\left(x \right )\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\cos x\\ \\ \mathrm{sen\,}x-\cos x=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x-\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x \right )=0\\ \\ 2\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{x-\left(\frac{\pi}{2}-x \right )}{2} \right )\cdot \cos \left(\dfrac{x+\left(\frac{\pi}{2}-x \right )}{2} \right)=0\\ \\ 2\cdot \mathrm{sen}\left(\dfrac{2x-\frac{\pi}{2}}{2} \right )\cdot \cos \left(\dfrac{\left(\frac{\pi}{2} \right )}{2} \right)=0\\ \\ 2\cdot \mathrm{sen}\left(x-\frac{\pi}{4} \right )\cdot \cos \frac{\pi}{4}=0\\ \\ \diagup\!\!\!\!2\cdot \mathrm{sen}\left(x-\frac{\pi}{4} \right )\cdot \frac{\sqrt2}{\diagup\!\!\!\!2}=0\\ \\ \sqrt{2}\cdot \mathrm{sen}\left(x-\frac{\pi}{4} \right )=0\\ \\ \mathrm{sen}\left(x-\frac{\pi}{4} \right )=0$


$\begin{array}{rcl} x-\frac{\pi}{4}=0+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x-\frac{\pi}{4}=\pi+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\pi+\frac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\frac{4\pi+\pi}{4}+k \cdot 2\pi\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+k\cdot 2\pi&\text{ ou }&x=\frac{5\pi}{4}+k \cdot 2\pi\\ \\ \end{array}$

onde $k \in \mathbb{Z}$ (conjunto dos números inteiros).


b) No intervalo $\left(0,\,2\pi \right )$, as únicas soluções são

$x=\frac{\pi}{4}\;\;\text{ ou }\;\;x=\frac{5\pi}{4}$


c) Dada a condição $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, ou seja, se $x$ for um arco do 2º quadrante, a equação

$\mathrm{sen\,}x=\cos x$

não tem solução, pois no 2º quadrante


$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}x$ é sempre positivo;

$\bullet\;\;\cos x$ é sempre negativo.