Question

Considerando as seguintes descrições da posição (em metros) de uma partícula que se move no plano xy (Eu não sei o desenvolvimento, então, por favor enviem com o desenvolvimento).​

Answer 1

Resposta:

Vide explicação.

Explicação:

Uma maneira rapida de fazer isso seria analisar o grau no polinomio, partindo da seguinte definição:

$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

Se o polinomio que descreve a trajetoria tiver grau igual a 2, a aceleração será constante, apenas fazendo isso podemos dizer que:

1) Acelerações constantes, para x e y.

2) Aceleração constante apenas para o movimento em y, linear para x.

3) Aceleração constante em x e igual a 0 em y.

4) Aceleração igual a 0 para y e linear para x

Agora, vamos fazer isso com calculos mesmo, primeiro vamos lembrar novamente que:

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \\\\\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

Ou seja, a aceleração é a derivada segunda da posição, ou a derivada da velocidade, como em todos os casos são polinomios vou lembrar que a derivada de um polinomio é:

$P(x) = a_0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+\cdots + a_n\cdot x^n\\\\\frac{dP(x)}{dx} = a_1 + 2a_2\cdot x^1+3a_3\cdot x^2+\cdots+n\cdot a_n\cdot x^{n-1}$

Isso mostra que podemos fazer a derivada termo a termo, simplificando temos:

$f(x) = x^n\\\\f'(x) = n\cdot x^{n-1}$

Enfim, vamos para o exercício de fato:

1)

$x = -3t^2+4t-2\\y = 6t^2-4t$

Primeira derivada, que nos dá a velocidade:

$v_x = -6t+4\\v_y = 12t-4$

Segunda derivada, que nos dá a aceleração:

$a_x = -6\\a_y = 12$

Pronto, as acelerações são constantes nesse caso.

2)

$x = -3t^3+4t\\y = -5t^2+6$

Primeira derivada, que nos dá a velocidade:

$v_x=-9t^2+4\\v_y = -10t$

Segunda derivada, que nos dá a aceleração:

$a_x=-18t\\a_y = -10$

Aceleração em x é uma função linear e em y é uma constante

3)

Nos podemos separar o vetor deslocamento em duas componentes, x e y, pelos versores Î e j respectivamente, da seguinte forma:

$\vec{r} = 2t^2\vec{i}-(4t-3)\vec{j}\\\\x = 2t^2\\y = 4t-3$

Porém eu não irei separar pra você ver como resolve usando o vetor deslocamento.

$\vec{r} = 2t^2\vec{i}-(4t-3)\vec{j}\\\\\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2\vec{i}-(4t-3)\vec{j})\\\\\vec{v} = \frac{d}{dt}(2t^2)\vec{i}-\frac{d}{dt}(4t-3)\vec{j}\\\\\vec{v} = 4t\vec{i} - 4\vec{j}$

Fiz mais passagens aqui apenas para você perceber que, você pode derivas as componentes diretamente, deriva o que multiplica Î, deriva o que multiplica j e pronto, nesse caso temos o vetor velocidade, vamos derivar denovo para achar o vetor aceleração:

$\vec{a} = \frac{dv}{dt}= \frac{d}{dt}(4t\vec{i}-4\vec{j})\\\\\vec{a} = 4\vec{i} - 0\vec{j}\\\\\vec{a} = 4\vec{i}$

Ou seja, temos um movimento acelerado apenas na direção Î, constante, na direção j temos um movimento uniforme.

4)

$\vec{r} = (4t^3-2t)\vec{i}+3\vec{j}\\\\x = 4t^3-2t\\y = 3$

Vetor velocidade:

$\vec{v} = \frac{d}{dt}(4t^3-2t)\vec{i} + \frac{d}{dt}(3)\vec{j}\\\\\vec{v} = (12t^2-2)\vec{i}$

Vetor aceleração:

$\vec{a} = \frac{d}{dt}(12t^2-2)\vec{i} \\\\\vec{a} = 24t\cdot \vec{i}$

Temos aceleração apenas na direção Î, linear.

Qualquer dúvida escreva nos comentários, seja em relação a física ou matematica caso não tenha entendi algo.