Question

Considerando as funções $f(x) = -2x + 1$ e $g(x) = 3x-2$, determine o valor de k, tal que $f^{-1} (g(k)) = 1$

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Nesse tipo de questão, devemos resolver de dentro para fora.

Temos que:

$\large \boxed{\star f^{-1} (g(k)) = 1 \star}$

Vamos resolver primeiro g(k), pois como eu disse, devemos fazer de dentro para fora.

$\boxed{\star g(k) \star} \\ \\ g(x) = 3x - 2 \\ g(k) = 3.k - 2 \\ \boxed{g(k) = 3k - 2}$

Agora vamos substituir esse valor no local de g(k).

$\boxed{\star f^{-1} (3k - 2) = 1 \star}$

A gente poderia pensar assim: "Agora é só substituir na função f(x) e igualar a 1 o resultado e descobrir "k", mas esse pensamento está errado, pois a questão não pergunta com f(x) e sim com a inversa de f(x), então teremos que encontrar a inversa de f(x) primeiro.

$\boxed{f(x) = - 2x + 1}$

Primeira coisa que deve fazer é isolar o "x".

Vamos substituir o f(x) por y, já que eles são a mesma coisa e é mais fácil trabalhar com "y".

$y = - 2x + 1 \\ 2x = - y + 1 \\ \boxed{ x = \frac{ - y +1}{2} }$

Agora onde tiver "x" você deve troca por "y" e onde tiver "y" você deve trocar por "x".

$x = \frac{ - y + 1}{2} \\ \\ y = \frac{ - x + 1}{ 2}$

Agora substitua no local de "y" a notação f^(-1)(x), pois isso indica que é a inversa de f(x).

$\boxed{f {}^{ - 1} (x) = \frac{ - x + 1}{2} }$

Depois de ter feito isso tudo, podemos prosseguir com os cálculos.

Temos que:

$f {}^{ - 1} (3k - 2) = 1$

Então no local de x da inversa de f(x) vamos substituir por 3k - 2 e igualar a 1.

$f {}^{ - 1}(x) = \frac{ - x + 1}{2} \\ \\ f {}^{ - 1} (3k - 2) = \frac{ - (3k - 2) + 1}{2} \\ \\ f {}^{ - 1} (3k - 2) = \frac{ - 3k + 2 + 1}{2} \\ \\ \boxed{ f {}^{ - 1} (3k - 2) = \frac{ - 3k + 3}{2} }$

Agora iguale a 1, já que a questão diz que a inversa de f(x) é igual a 1.

$\frac{ - 3k + 3}{2} = 1 \\ \\ - 3k + 3 = 2.1 \\ \\ - 3k + 3 = 2 \\ \\ - 3k = 2 - 3 \\ \\ - 3k = - 1 \\ \\ k = \frac{ - 1}{ - 3} \\ \\ \boxed{k = \frac{1}{3} } \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️