Question

considerando as funções polinosmais f(x)=1-x e g(x)=x²+2x-1 , em que x pertence ao conjunto dos números reais , prove que a equação g(f(x))= f(g(x)) tem 2 soluções distintas​

Answer 1

Resposta:

Vamos primeiro calcular as funções compostas:

$g(f(x)) = (1-x)^2+2(1-x)-1 = x^2-4x+2\\f(g(x)) = 1-(x^2+2x-1) = -x^2-2x+2$

Assim, a equação será:

$x^2-4x+2 = -x^2-2x+2 \Leftrightarrow 2x^2-2x = 0 \Leftrightarrow 2x(x-1) = 0$

Daí, é fácil observar que as duas soluções (distintas) da equação são:

$\boxed{x = 0}$

e

$\boxed{x = 1}$

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Demonstração:

$\mathtt{f[g(x)] =1-g(x)}\\\mathtt{f[g(x)]=1-({x}^{2}+2x-1)}\\\mathtt{f[g(x)]=1-{x}^{2}-2x+1}\\\mathtt{f[g(x)]=-{x}^{2}-2x+2}$

$\mathtt{g[f(x)]={f(x)}^{2}+2f(x)-1}\\\mathtt{g[f(x)] ={(1-x)}^{2}+2(1-x)-1}\\\mathtt{g[f(x)]=1-2x+{x}^{2}+2-2x-1}\\\mathtt{g[f(x)]={x}^{2}-4x+2}$

$\mathtt{g[f(x)]=f[g(x)]}\\\mathtt{{x}^{2}-4x+2=-{x}^{2}-2x+2}\\\mathtt{{x}^{2}+{x}^{2}-4x+2x+2-2=0}$

$\mathtt{2{x}^{2}-2x=0}\\\mathtt{2x(x-1)=0}\\\mathtt{2x=0} \\\mathtt{x=\dfrac{0}{2}=0}$

$\mathtt{x-1=0}\\\mathtt{x=1}$

$\boxed{\boxed{\mathtt{s=\{0,1\}}}}$