Question

Considerando as funções f(x)=5x+1 e g(x)=8x-4:
a) Determine a função composta f o g(x).
b) Determine a função composta g o f(x).
c) Determine a função h(x) como sendo a função inversa de f o g(x).
d) Determine a função composta f o h(x).

Answer 1

Uma função f, relaciona os elementos de um conjunto A (domínio) com os elementos de outro conjunto B (contra-domínio):
$f:A\rightarrow B$
No caso de uma função composta os elementos de A passam por outro conjunto C antes de ir para B:
$f:A\to C\to B$
sendo que uma função dentro de f vai levar os elementos de A para C e a função f vai levar o elemento de C para B:
$(f\circ g) g:A\to C,~f:C\to B$

a) determinar $(f\circ g)(x)$
como $f(x)=5x+1$ sua composta com g ficará:
$(f\circ g)(x)=f(g(x))=5(g(x))+1$
levando em consideração que $g(x)=8x-4$ teremos
$i)~~~~(f\circ g)(x)=5g+1\\\\ii)~~~(f\circ g)(x)=5(8x-4)+1\\\\iii)~~(f\circ g)(x)=40x-20+1\\\\iv)~~\boxed{(f\circ g)(x)=40x-19}$

b) determinar $(g\circ f)(x)$
mesmo caso da a:
$i)~~~~(g\circ f)(x)=8f-4\\\\ii)~~~(g\circ f)(x)=8(5x+1)-4\\\\iii)~~(g\circ f)(x)=40x+8-4\\\\iv)~~\boxed{(g\circ f)(x)=40x+8}$

c) Função inversa faz o caminho contrário da sua função, ou seja, vem do contra-domínio para o domínio (enquanto na função o valor de x te leva para um valor de y, na função inversa o valor de y te dá o valor correspondente em x):
$f:A\to B\\f^{-1}:B\to A$
para calcular uma função inversa basta trocar x por y na fórmula e isolar o y:

Calcular $h(x)=f^{-1}(g(x))$
$f(g(x))=(f\circ g)(x)=40x-19$
logo:
$\displaystyle i)~~~~ (f\circ g)(x)=y\\\\ii)~~~y=40x-19\\\\iii)~~x=40y-19\\\\iv)~~40y=x+19\\\\v)~~~y=\frac{x+19}{40}\\\\vi)~~\boxed{h(x)=\frac{x+19}{40}}$

d) determinar $(f\circ h)(x)$
mesma coisa de b e c:
$\displaystyle i)~~~~(f\circ h)(x)=5\left(\frac{x+19}{40}\right)+1\\\\\\ii)~~~(f\circ h)(x)=\frac{5x+95}{40}\\\\\\iii)~~(f\circ h)(x)=\frac{5x+95}{40}+\frac{40}{40}\\\\\\iv)~~(f\circ h)(x)=\frac{5x+135}{40}\\\\v)~~~\boxed{(f\circ h)(x)=\frac{x+27}{4}}$