Question

Considerando as funções f(x)=3x+5 e g(x)=6x-2=
a)Determine a função composta F o g(x)
b)Determine a função g o f(x)
c)Determine a função h(x) como sendo a função inversa de f e g (x).
d)Determine a função composta f o h(x)

Answer 1

a)

Para fog(x), a variável "x" da função f(x) será substituída pela função g(x):

$fog(x)~=~f(g(x))\\\\\\fog(x)~=~3\,.\,g(x)+5\\\\\\fog(x)~=~3\,.\,(6x-2)+5\\\\\\fog(x)~=~18x-6+5\\\\\\\boxed{fog(x)~=~18x-1}$

b)

Agora, para gof(x), a variável "x" da função g(x) será substituída pela função f(x):

$gof(x)~=~g(f(x))\\\\\\gof(x)~=~6\,.\,f(x)-2\\\\\\gof(x)~=~6\,.\,(3x+5)-2\\\\\\gof(x)~=~18x+30-2\\\\\\\boxed{gof(x)~=~18x+28}$

c)

Para achar a inversa da composta fog(x), vamos primeiro trocar "x" por "y" na função e, posteriormente, isolar "y".

$fog(x)~=~18x-1\\\\\\y~=~18x-1\\\\\\Trocando~x~por~y\\\\\\x~=~18y-1\\\\\\Isolando~y\\\\\\x+1~=~18y\\\\\\y~=~\frac{x+1}{18}\\\\\\\boxed{h(x)~=~\frac{x+1}{18}}$

d)

Para foh(x), a variável "x" da função f(x) será substituída pela função h(x):

$foh(x)~=~f(h(x))\\\\\\foh(x)~=~18\,.\,h(x)-1\\\\\\foh(x)~=~18\,.\,\frac{x+1}{18}-1\\\\\\foh(x)~=~18\!\!\!\!\backslash\,.\,\frac{x+1}{18\!\!\!\!\backslash}-1\\\\\\foh(x)~=~x+1-1\\\\\\\boxed{foh(x)~=~x}$