Question

Considerando as funções f e g, de R em R definidos por: f (x) = x(ao quadrado) - 5x e g (x) = x+1. a- determine as leis que definem (fog)(x) e (gof)(x)
b- os valores do domínio de (gof)(x) com imagem -3

Answer 1

a) Começando pela (fog)(x):

$f(x) = x^2 - 5x\\ g(x) = x + 1 \\ (fog)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 5(g(x))$

Substituindo g(x) por x + 1:

$(fog)(x) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) = x^2 + 2x + 1 - 5x -5 = x^2 - 3x -4$

Agora a (gof)(x):

$(gof)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1$

Substituindo f(x) por $x^2 - 5x$:

$(gof)(x) = x^2 - 5x + 1$

b)
Para saber para quais valores de x (gof)(x) é -3, basta substituir (gof)(x) na equação acima por -3:

$-3 = x^2 - 5x + 1 \\ x^2 - 5x + 1 +3 = 0 \\x^2 - 5x +4= 0$

Agora aplicamos Bhaskara, com a = 1, b = -5 e c = 4:

$x = \frac{-b \pm \sqrt[2]{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\\ x = \frac{- (-5) \pm \sqrt[2]{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4)}}{2 \cdot 1} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt[2]{25-16}}{2} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt[2]{9}}{2}$

Então:
$x^{'} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \\ x^{''} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$