Matemática, perguntado por lakdkdowks, 9 meses atrás

Considerando as aproximações log 2 = 0,30 e log 7 = 0,85, calcule:
a)log8 14
b) log 1/5 49

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Previamente, lembre-se das partes de um logaritmo:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a}~(b)=c\\\\\sf a=base~do~logaritmo\\\sf b=logaritmando\\\sf c=valor~do~logaritmo\end{array}}\\\\$

Dado as aproximações a seguir:

log (2) = 0,3
log (7) = 0,85

Vamos calcular o valor dos logaritmos em cada item abaixo.

⠀

Letra a)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:8}~(14)=~\!?\end{array}$

→ Veja que a base do logaritmo é 8, e como foi dado somente valores aproximados na base 10, então vamos converter essa base ai.

→ Usando a propriedade logₐ (b) ⇔ [logₓ (b)]/[logₓ (a)] obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{log~(14)}{log~(8)}\\\\\end{array}$

→ Desmembrando 14 em 2 * 7, e 8 em 2 * 2 * 2 = 2³ :

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{log~(2\cdot7)}{log~(2^3)}\\\\\end{array}$

→ Pela propriedade logₐ (b * c) ⇔ logₐ (b) + logₐ (c) obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{log~(2)+log~(7)}{log~(2^3)}\\\\\end{array}$

→ Pela propriedade logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b) obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{log~(2)+log~(7)}{3\cdot log~(2)}\\\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{0,3+0,85}{3\cdot0,3}\\\\\sf log_{\:8}~(14)=\dfrac{1,15}{0,9}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf log_{\:8}~(14)\approx1,27}}\end{array}$

⠀

Letra b)

$\begin{array}{l}\sf log_{\:1/5}~(49)=~\!?\end{array}$

→ Veja que aqui o caso é parecido com o anterior, a base do logaritmo é 1/5, e como foi dado somente valores aproximados na base 10, então vamos converter ela.

→ Antes, vamos converter em uma potência visto que 1/a ⇔ a⁻¹ :

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:1/5}~(49)=log_{\:5^{-1}}~(49)\\\\\end{array}$

→ Pela propriedade logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b) obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-1\cdot log_{\:5}~(49)\\\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\:log_{\:5}~(49)\\\\\end{array}$

→ Usando a propriedade logₐ (b) ⇔ [logₓ (b)]/[logₓ (a)] obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\dfrac{log~(49)}{log~(5)}\\\\\end{array}$

→ Agora podemos desmembrar o 49 em 7 * 7 = 7², e olha agora se liga nisso, como não temos o valor aproximado de log (5), então vamos converter o logaritmando numa divisão (5 = 10/2):

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\dfrac{log~(7^2)}{log~\bigg(\dfrac{10}{2}\bigg)}\\\\\end{array}$

→ Pelas propriedades, logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b) e logₐ (b/c) ⇔ logₐ (b) - logₐ (c) obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\dfrac{2\cdot log~(7)}{log~(10)-log~(2)}\\\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\dfrac{2\cdot0,85}{1-0,3}\\\\\sf log_{\:1/5}~(49)=-\dfrac{1,7}{0,7}\\\\\!\!\boldsymbol{\boxed{\sf log_{\:1/5}~(49)\approx-\;2,4}}\end{array}$