Question

considerando a sequencia logica 2,2,5,6,8,18,11,54,14... o decimo e o decimo primeiro termos da sequencia sao?

Answer 1

Considerando a sequência lógica  (2, 2, 5, 6, 8, 18, 11, 54, 14, ...),   encontrar o décimo e o décimo primeiro termos.

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Solução:

Observe que podemos decompor essa sequência como a soma de duas subsequências:

(2, 2, 5, 6, 8, 18, 11, 54, 14, ...)

= (2, 0, 5, 0, 8, 0, 11, 0, 14, ...) + (0, 2, 0, 6, 0, 18, 0, 54, 0, ...)


Observe que nesta sequência,

•   Os termos de ordem ímpar formam uma progressão aritmética de razão  3, cujo primeiro termo é  a₁ = 2;

•   Os termos de ordem par formam uma progressão geométrica de razão  3, cujo primeiro termo é  a₂ = 2.

Vamos encontrar as leis de formação para cada uma dessas subsequências.

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•   Para  n  ímpar:

     $\mathsf{a_3=5=2+3}\\\\ \mathsf{a_5=8=2+2\cdot 3}\\\\ \mathsf{a_7=11=2+3\cdot 3}\\\\ \vdots\\\\ \mathsf{a_{2k+1}=2+k\cdot 3}\\\\ \mathsf{a_{2k+1}=2+3k\qquad\quad com~~k=1,\,2,\,3,\,\ldots}$


Fazendo  n = 2k + 1, temos que   k = (n – 1)/2,  de modo que,  para  n  ímpar, a lei de  $\mathsf{a_n}$  fica

     $\mathsf{a_n=2+3\cdot \left(\dfrac{n-1}{2}\right)}\qquad\quad\textsf{(para n~\'impar)}$


•   Para  n  par:

     $\mathsf{a_2=2}\\\\ \mathsf{a_4=6=2\cdot 3}\\\\ \mathsf{a_6=18=2\cdot 3^2}\\\\ \mathsf{a_8=54=2\cdot 3^3}\\\\ \vdots\\\\ \mathsf{a_{2k}=2\cdot 3^{k-1}\qquad\quad com~~k=1,\,2,\,3,\,\ldots}$


Fazendo  n = 2k,  temos que   k = n/2,  de modo que,  para  n  par, a lei de  $\mathsf{a_n}$  fica

     $\mathsf{a_n=2\cdot 3^{(n/2)-1}}\qquad\quad\textsf{(para n~par)}$

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Então, a lei de formação para a sequência lógica dada inicialmente é

     $\mathsf{a_n}=\left\{\!\begin{array}{ll} \mathsf{2+3\cdot \left(\dfrac{n-1}{2}\right)}\,,&\qquad\textsf{se n \'e \'impar}\\\\ \mathsf{2\cdot 3^{(n/2)-1}}\,,&\qquad\textsf{se n \'e par} \end{array} \right.$

com  n = 1, 2, 3, ...

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•  Calculando o  10º  termo:

     n = 10   (par)

     $\mathsf{a_{10}=2\cdot 3^{(10/2)-1}}\\\\ \mathsf{a_{10}=2\cdot 3^{5-1}}\\\\ \mathsf{a_{10}=2\cdot 3^4}\\\\ \mathsf{a_{10}=2\cdot 81}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_{10}=162}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$


•  Calculando o  11º  termo:

     n = 11   (ímpar)

     $\mathsf{a_{11}=2+3\cdot \left(\dfrac{11-1}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{a_{11}=2+3\cdot \left(\dfrac{10}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{a_{11}=2+3\cdot 5}\\\\ \mathsf{a_{11}=2+15}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_{11}=17}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)