Question

considerando a reta s e a circunferência ¥ de equações y = x - 2 e x^2 + ( y - 3 )^2 =17 respectivamente:

a) determine s n ¥
b) represente no plano cartesiano os pontos (x,y) que são soluções do sistema:
{y >x-2
{x^2 + (y - 3)^2 <17

Answer 1

As interseções entre a reta s e a circunferência λ são (1,1) e (4,2); A solução da inequação está anexada abaixo.

a) Sendo y = x - 2, vamos substituir o valor de y na equação da circunferência x² + (y - 3)² = 17. Assim, obtemos a seguinte equação:

x² + (x - 2 - 3)² = 17

x² + (x - 5)² = 17

x² + x² - 10x + 25 = 17

2x² - 10x + 8 = 0

x² - 5x + 4 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-5)² - 4.1.4

Δ = 25 - 16

Δ = 9

$x=\frac{5+-\sqrt{9}}{2}$

$x=\frac{5+-3}{2}$

$x'=\frac{5+3}{2}=4$

$x''=\frac{5-3}{2}=1$.

Se x = 4, então y = 2. Logo, um ponto de interseção é (4,2).

Se x = 1, então y = 1. Logo, um ponto de interseção é (1,1).

Portanto, as interseções entre as duas curvas são os pontos (4,2) e (1,1).

b) Abaixo, temos o esboço das duas regiões dadas no sistema de inequações.

A solução será a região comum entre as duas regiões, ou seja, é a parte mais escura pintada.