Question

Considerando a reta r: X = (3,1,4) + a (-1,1,-1) e o plano r: X = (1, 0, 1) + a (2,-3,1) b (0,2,1) . Determine o ponto de intersecção da reta com o plano

Answer 1

Precisamos primeiro encontrar a equação paramétrica da reta r. Tendo um dos pontos e o vetor diretor, vamos encontrar a equação paramétrica de r:
r: X = (3, 1, 4) + t(-1, 1, -1)
x = 3 - t >>>> t = x + 3
y = 1 + t >>>> y = 1 + x + 3 >>>>> y - x = 4
z = 4 - t >>>> z = 4 - (x + 3) >>>>> z + x = 1

A equação geral do plano é da forma: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0. Para encontrar esta equação, vamos montar a matriz equivalente:
$\left[\begin{array}{ccc}x-x_0&y-y_0&z-z_0\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{array}\right]$

Substituindo os valores:
$M = \left[\begin{array}{ccc}x-1&y&z-1\\2&-3&1\\0&2&1\end{array}\right]$

Seu determinante é: det(M) = -5x - 2y + 4z +1
A equação geral do plano é: π: 5x + 2y - 4z - 1 = 0

O ponto de interseção do plano e da reta é dado pelo sistema envolvendo as equações do plano e da reta, resolvendo pela Regra de Cramer:
$\left\{\begin{array}{lll}y-x=4\\z+x = 1\\5x+2y-4z=1\end{array}\right$

Onde temos:
x = - 3/11
y = 41/11
z = 14/11

O ponto Q de interseção é:
$\boxed{Q = ( - \frac{3}{11} , \frac{41}{11} , \frac{14}{11} )}$