Question

Considerando a reta r: 2x + 4y = 12 e a circunferência x: (x-3)² + (y+3)² = 18, calcule a área do triângulo determinado pelo centro de x e pelos pontos de interseção de x com r.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a resolução, embora pareça simples, mas é um pouco trabalhosa.

i) Tem-se que a circunferência "x" tem equação (x-3)² + (y+3)² = 18. e a reta "r" tem equação 2x + 4y = 12. A reta corta a circunferência em dois pontos, que são os pontos A(3,6; 1,2) e B(6; 0). Veja que os gráficos da circunferência "x" e da reta "r" estão demonstrados no endereço abaixo, já que aqui no Brainly eu não sei construir gráficos. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B2x%2B4y+%3D+12,+(x-3)%C2%B2+%2B+(y%2B3)%C2%B2+%3D+18%7D

ii) Note que o centro da circunferência, cuja equação é: (x-3)² + (y+3)² = 18 é dado por:

C(3; -3) e o raio é igual √(18) = 3√(2).  Assim, teremos o triângulo formado pelo centro da circunferência [C(3; -3)] e os pontos A(3;6; 1,2) e B(6; 0) tem os seus dois lados iguais ao raio [r = 3√(2)]. E, assim, trata-se de um triângulo isósceles. Resta, agora, saber qual é a medida da base (b) e da altura "h" desse triângulo para que possamos calcular a sua área.

iii) A base será dada pela distância entre os pontos A(3,6; 1,2) e B(6; 0). Calculando a distância (d) entre esses pontos teremos:

d² = (6-3,6)² + (0-1,2)² ----- desenvolvendo, temos:

d² = (-2,4)² + (-1,2)² ------ continuando o desenvolvimento, temos:

d² = 5,76 + 1,44

d² = 7,2 ---- isolando "d", teremos:

d = ± √(7,2) ----- como a medida da base não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = √(7,2) <---- Esta é a medida da base do triângulo da sua questão. Ou seja, poderemos trocar "d" por "b" para significar a base. Então:

b = √(7,2). <--- Esta é a medida da base.

iv) Agora note: quando se traça a altura "h" à base AB, essa altura divide exatamente ao meio a base AB em dois segmentos congruentes e iguais a √(7,2) / 2 e forma um triângulo retângulo, cuja hipotenusa será um dos lados congruentes do triângulo isósceles [3√(2)], ficando os catetos formados pela altura (h) e um dos segmentos congruentes vistos acima [√(7,2) / 2] . Assim, ao aplicarmos Pitágoras, iremos encontrar a medida da altura (h):

[3√(2)]² = [√(7,2) / 2]² + h² ----- desenvolvendo, teremos:

9*2 = 7,2/4 + h² ------ como "9*2 = 18" e como "7,2/4 = 1,8", teremos:

18 = 1,8 + h² ----- passando "1,8" para o 1º membro, temos:

18 - 1,8 = h²

16,2 = h² ------ ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

h² = 16,2 ---- isolando "h", teremos:

h = ± √(16,2) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, pois a altura não vai ser negativa, teremos:

h = √(16,2) <--- Esta é a medida da altura do triângulo da sua questão.

v) Finalmente, vamos à área do triângulo formado, pois para isso já temos todas as informações. A área de um triângulo é dada por:

A = b*h / 2 ------ em que "A" é a área, "b" é a base e "h" é a altura. Assim, fazendo as devidas substituições de acordo com as informações de que já dispomos, teremos:

A = √(7,2)*√(16,2) / 2

A = √(7,2*16,2) / 2

A = √(116,64) / 2----- note que √(116,64) = 10,8 (pois (10,8)² = 116,64)). Assim:

A = 10,8 / 2 ----- finalmente, note que "10,8/2 = 5,4". Logo:

A = 5,4 <---- Esta é a resposta. Esta é a área pedida do triângulo da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.