considerando a função a seguir determine x²-8x+15.
a. Determine o vértice da parábola:
b. As raízes da função:
c. Construa um gráfico
d. Faça um estudo do sinal da função,determinando os intervalos em que a função é negativa,positiva e nula.
Me ajudemm pfvrr
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) ponto (4;-1).
b) raízes são 3 e 5.
c) Imagem no anexo.
d) função positiva.
Explicação passo a passo:
Há duas formas de fazer essa questão, pois em função quadrática (segundo grau), existe um macete para equações "mais simples" como essa.
PRIMEIRA FORMA (MACETE): só funciona quando o a=1
Observando a função temos que o a =1. o b=-8 e o c=15. O segredo dessa técnica é imaginar dois números que multiplicados sejam = c e somados sejam =-b. Como b=-8, temos n + m = - (-8) -> n + m = 8. e c=15, temos n*m =15, De cara vemos que os únicos números que podem atender as duas possibilidades ao mesmo tempo são 3 e 5, pois 3+5=8 e 3*5=15.
SEGUNDA FORMA (Bhaskara):
Vamos fazer a famosa equação de Bhaskara onde o x = [-b ±(√Δ)]/2a.
primeiro fazemos o Δ, então Δ = b² -4ac, substituindo fica (-8)² - 4*1*15 = 64-60 = 4. logo sua raiz em módulo é =2.
substituindo as outras informações na equação de Bhaskara temos duas possibilidades, o x' e o x'' (nossas raízes).
primeira possibilidade: x' = [-(-8) + 2]/2*(1) -> 10/2 = 5. Logo x'=5.
segunda possibilidade: x'' = [-(-8) -2]/2*(1) -> 6/2 = 3. Logo x'' = 3.
Então posso afirmar que as duas raízes dessa equação são 3 e 5.
Para lembrar que o "c" é obrigatoriamente onde a parábola corta o eixo Y, logo no gráfico teríamos a parábola cortando o eixo Y no ponto 15 .
Com o "a" sendo positivo, nossa parábola é função positiva. Assim tendo um ponto de mínimo como vértice, e para calcularmos essas coordenadas usamos do Xv (x do vértice) e o Yv (y do vértice):
Xv = -b/2a -> -(-8)/2 = 4 ou podemos fazer de outra maneira, já que sabemos as raízes o Xv pode ser calculado apenas pelas medias aritméticas das raízes, temos então: (x' + x'')/2 -> (3+5)/2 = 4.
Yv = -Δ/4a -> -4/4 = -1, ou podemos calcular a partir da substituição do Xv na função que vai dar o mesmo resultado.
Assim temos nossas respostas: a) vértice (4;-1) // b) raízes 3 e 5 // c) imagem do anexo // d) função positiva.
