Question

considerando a figura a seguir, com medidas indicadas em centimetros, determine:

Answer 1

O valor de x é igual a 2 m e, a medida de ambos os segmentos AP e BP é igual a 11 m

Explicação passo-a-passo:

a)

O segmento de reta OP é a hipotenusa de ambos os triângulos retângulos $A\^{O}P$ e $B\^{O}P$.

Usando Pitágoras:

$OP^2=AO^2+(3x+5)^2\\OP^2=BO^2+(\frac{x}{2}+10)^2$

Igualando as duas equações:

$AO^2+(3x+5)^2=BO^2+(\frac{x}{2}+10)^2\\\\(3x+5)^2-(\frac{x}{2}+10)^2=BO^2-AO^2$

Mas BO = AO = raio. Logo,

$(3x+5)^2-(\frac{x}{2}+10)^2=0\\9x^2+30x+5^2-(\frac{x^2}{4}+10x+10^2)=0\\9x^2+30x+25-\frac{x^2}{4}-10x-100=0\\9x^2-\frac{x^2}{4}+30x-10x+25-100=0\\\frac{36x^2}{4}-\frac{x^2}{4}+20x-75=0\\\frac{35x^2}{4}+20x-75=0$

Multiplicando todos os termos por 4:

$35x^2+80x-300=0$

Dividindo todos os termos por 5:

$7x^2+16x-60=0$

Usando Bháskara:

$\text{Coeficientes: a = 7, b = 16 e c = -60}\\\\\Delta = b^2-4\;.\;a\;.\;c = 16^2 - 4\;.\;7\;.\;-60=256+1680=1936\\\\x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\;.\;a} = \frac{-16 \pm \sqrt{1936}}{2\;.\;7} = \frac{-16 \pm 44}{14}\\\\x_1=\frac{-16 + 44}{14}=\frac{28}{14}=2\\\\x_2 = \frac{-16 - 44}{14} = \frac{-60}{14} =-\frac{30}{7}$

Como o valor negativo não serve, temos que x = 2 m.

b)

$AP=3x+5=3\;.\;2+5=6+5=11\;m\\\\BP=\frac{x}{2}+10=\frac{2}{2}+10=1+10=11\;m$