Question

Considerando a figura a cima, qual o valor de seno de alfa?

Answer 1

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Veja a figura em anexo a esta resposta.

Percebemos que existe um triângulo isósceles  OPQ,  com um vértice sobre o centro  O,  e os outros dois vértices  P  e  Q  sobre a própria circunferência.

No triângulo  OPQ,

    •   o ângulo do vértice mede  α;

    •   os dois lados congruentes têm a medida do raio  r  da circunferência;

    •   a base  PQ  do triângulo isósceles (lado oposto ao ângulo  α)  mede  3r/2.


Se traçarmos um segmento de reta partindo do vértice  O  do triângulo até o ponto médio  M  da base do triângulo isósceles, obteremos dois triângulos retângulos congruentes  OPM  e  OQM,  sendo  α/2  a medida de um de seus ângulos internos.


Considerando um desses triângulos retângulos, por exemplo o triângulo  OPM,  teremos que

     •   $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{cateto~oposto}{hipotenusa}}$

     $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{med(MP)}{med(OP)}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3r}{2}}{r}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{~\frac{3r}{4}~}{r}}\\\\\\ \mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3r}{4}\cdot \dfrac{1}{r}}$

     $\mathsf{sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3}{4}}$          ✔


Para achar  $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right),}$  podemos usar a Relação Trigonométrica Fundamental:

     $\mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)+sen^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-sen^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=1-\dfrac{9}{16}}$

     $\mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{16}{16}-\dfrac{9}{16}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{16-9}{16}}\\\\\\ \mathsf{cos^2\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{7}{16}}$


de modo que
 
    $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\,\sqrt{\dfrac{7}{16}}}\\\\\\ \mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\pm\,\dfrac{\sqrt{7}}{4}}$


Mas  α/2  é um ângulo agudo,  pois é um dos ângulos internos de um triângulo retângulo. Portanto, o cosseno de  α/2  é positivo:

     $\mathsf{cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{7}}{4}}$          ✔

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Com essas informações, encontramos o seno de  α  aplicando a fórmula do seno do arco duplo:

     $\mathsf{sen\,\alpha=2\,sen\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{sen\,\alpha=2\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4}}\\\\\\ \mathsf{sen\,\alpha=\dfrac{6\sqrt{7}}{16}}\begin{array}{l}\mathsf{^{\div 2}}\\\mathsf{^{\div 2}}\end{array}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{sen\,\alpha=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}}\end{array}}$   <————   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Olá Gracieli.



Identidades trigonométricas usadas


$\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos(\^A)}}}\\\\\\\\\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{sen^2(\alpha)+cos^2 (\alpha)=1}}}$


_________________

Pela lei dos cossenos, temos


$\mathsf{\Big(\dfrac{3r}{2}\Big)^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{9\diagup\!\!\!\!r^2}{4}=2\diagup\!\!\!\!r^2-2\diagup\!\!\!\!\!r^2\cdot cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{9}{4}=2-2cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{9}{4}-2=-2cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}=-2cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{4}=-2cos(\alpha)}\\\\\\\mathsf{-\dfrac{1}{8}=cos(\alpha)}$


Usando a segunda identidade trigonométrica que relaciona seno e o cosseno.


$\mathsf{sen^2(\alpha)+cos^2 (\alpha)=1}\\\\\\\mathsf{sen^2(\alpha)+\Big(-\dfrac {1}{8}\Big)^2=1}\\\\\\\mathsf{sen^2(\alpha)=1-\dfrac{1}{64}}\\\\\\\mathsf{sen^2 (\alpha)=\dfrac{64}{64}-\dfrac{1}{64}}\\\\\\\mathsf{sen^2(\alpha)=\dfrac{63}{64}}\\\\\\\mathsf{sen(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{63}{64}}}\\\\\\\mathsf{sen(\alpha)=\pm\dfrac{\sqrt{3^2\cdot7}}{8}}\\\\\\\mathsf{sen (\alpha)=\pm\dfrac{3\sqrt{7}}{8}}$


O seno de um arco só é negativo para angulos maiores que 180°. Como estamos trabalhando com um triângulo e a soma dos angulos internos de um triângulo é de 180°, então o seno do ângulo $\alpha$ não pode ser negativo.


$\boxed{\mathsf{sen(\alpha)=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}}}$



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