Question

Considerando a congruência módulo 6, escreva como é formado o sistema completo de restos, ou seja, as suas classes de equivalência. (É necessário que escreva pelo menos 8 elementos em cada sistema)

Answer 1

Explicação passo a passo:

O conjunto ℤ dos inteiros pode ser particionado em um sistema completo de restos, pela relação de congruência modular, definida a seguir:

     Definição: Dados dois inteiros $a$ e $b,$ e fixado um inteiro positivo $m,$ definimos a relação abaixo em ℤ:

               def.

     a ∼ b   ⟺   m | (a − b)

e para indicar que $a$ se relaciona com $b,$ usamos a notação

     $a\equiv b\quad(\mathrm{mod~}m)$

     Lê-se: a é congruente a b módulo m.

Equivalentemente, verifica-se que $a$ se relaciona com $b$ se e somente se $a$ e $b$ deixam o mesmo resto na divisão por $m.$

Esta relação de congruência módulo m é uma relação de equivalência em ℤ, e o particiona em m classes de equivalência, cada uma correspondente a um resto da divisão de qualquer inteiro da classe por m.

     $\displaystyle\mathbb{Z}_m=\{\overline{0},\,\overline{1},\,\cdots,\,\overline{m-1}\}=\bigcup_{k=0}^{m-1} \{\overline{k}\}$

e cada um dos $\overline{k}$ é a classe cujos elementos são todos os inteiros congruentes a k módulo m:

     $\overline{k}=\{mq+k:~~q\in\mathbb{Z}\}, \qquad\mathrm{com~}k\in\{0,\,1,\,\cdots,\,m-1\}.$

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Esta tarefa pede para escrevermos o sistema completo de restos módulo 6:

A partição de ℤ, formada pelas classes de equivalência módulo 6:

     $\mathbb{Z}_6=\{\overline{0},\,\overline{1},\,\overline{2},\,\overline{3},\,\overline{4},\,\overline{5}\}$

sendo cada classe de equivalência descrita a seguir:

     $\overline{0}=\{\cdots,\,0,\,6,\,12,\,18,\,24,\,30,\,36,\,42,\,\cdots,\,6q,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

     $\overline{1}=\{\cdots,\,1,\,7,\,13,\,19,\,25,\,31,\,37,\,43,\,\cdots,\,6q+1,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

     $\overline{2}=\{\cdots,\,2,\,8,\,14,\,20,\,26,\,32,\,38,\,44,\,\cdots,\,6q+2,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

     $\overline{3}=\{\cdots,\,3,\,9,\,15,\,21,\,27,\,33,\,39,\,45,\,\cdots,\,6q+3,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

     $\overline{4}=\{\cdots,\,4,\,10,\,16,\,22,\,28,\,34,\,40,\,46,\,\cdots,\,6q+4,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

     $\overline{5}=\{\cdots,\,5,\,11,\,17,\,23,\,29,\,35,\,41,\,47,\,\cdots,\,6q+5,\,\cdots~|~~q\in\mathbb{Z}\}$

Bons estudos! :-)