Question

considerado o número complexo z= i ^n +i^n-1 / i^2n com n € N*, responda.
a) a quantos números complexos diferentes z oode corresponder ?
b) quais são esses números?

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se: considerando o complexo abaixo, com "n" ∈ N* (ou seja, com "n" pertencente ao conjunto dos Naturais, sem incluir o zero), responda:
(a) a quantos números complexos diferentes "z" pode corresponder?
(b) Quais são esses números?

O complexo de que fala a sua questão é este:

z = [iⁿ + iⁿ⁻¹] / i²ⁿ

Antes veja que as potências de "i" repetem-se em "estágios" de 4 em 4, ou seja:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = - 1
i³ = i*i² = i*(-1) =  - i
i⁴ = i²*i² = (-1)*(-1) = 1
i⁵ = i⁴*i = 1*i = i
i⁶ = i⁴*i² = 1*(-1) = - 1
i⁷ = i⁴*i³ = 1*(-i) = - i

Assim, como você viu aí em cima, a partir do i⁴ e até o i⁷ repetem-se os mesmos resultados constatados do i⁰ até o i³.

Bem, sabendo-se disso, que as potências de "i" têm um "estágio" que se repete de 4 em 4, então vamos começar a dar valores a "n" a partir de "1", pois, conforme o enunciado da questão "n" ∈ N* (ou seja, "n" pertence ao conjunto dos Naturais sem incluir o zero).
Assim, teremos:

i) Para n = 1, em z = [iⁿ + iⁿ⁻¹] / i²ⁿ, teremos:

z = [i¹ + i¹⁻¹] / i²*¹
z = [i + i⁰] / i² ----- como i⁰ = 1 e i² = -1, teremos:
z = [i + 1] / - 1 ----- colocando-se o sinal de menos do denominador para antes da expressão, ficaremos assim:

z = - [i + 1] / 1 ------ ou apenas (após retirarmos os colchetes):
z = - i - 1 ---- ou, o que é a mesma coisa:
z = - 1 - i <----- Esta é a  raiz quando n = 1.

ii) Para n = 2, em z = [iⁿ + iⁿ⁻¹] / i²ⁿ, teremos:

z = [i² + i²⁻¹] / i²*²
z = [i² + i¹] / i⁴ ----- note que i⁴ = i²*i². Assim:
z = [i² + i¹] / i²*i² ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
z = [-1 + i] / (-1)*(-1) ---- como (-1)*(-1) = 1, ficaremos:
z = [-1 + i] / 1 ---- ou, o que é a mesma coisa:
z = - 1 + i <--- Esta é a raiz para n = 2.

iii) Para n = 3, em z = [iⁿ + iⁿ⁻¹] / i²ⁿ, teremos:

z = [i³ + i³⁻¹] / i²*³
z = [i³ + i²] / i⁶ ----- veja que i⁶ = i²*i²*i². Assim:
z = [i³ + i²] / i²*i²*i² ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
z = [-i - 1] / (-1)*(-1)*(-1) ---- como (-1)*(-1)*(-1) = (-1), teremos:
z = [-i - 1] / (-1) ---- vamos colocar o sinal de menos antes da expressão, ficando assim:

z = - [- i - 1] / 1 ---- ou apenas:
z = - [-i - 1] ---- retirando-se os colchetes, ficaremos com:
z =  i + 1 --- ou, o que é a mesma coisa:
z = 1 + i <---- Esta é a raiz para n = 3.

iv) Para n = 4, em z = [iⁿ + iⁿ⁻¹] / i²ⁿ, teremos:

z = [i⁴ + i⁴⁻¹] / i²*⁴
z = [i⁴ + i³] / i⁸ ----- veja que i⁴ = i²*i²; e i⁸ = i²*i²*i²*i². Assim:
z = [i²*i² + i³] / i²*i²*i²*i² ---- como i² = -1 e i³ = -i, teremos:
z = [(-1)*(-1) - i] / (-1)*(-1)*(-1)*(-1) --- desenvolvendo, teremos;
z = [1 - i] / 1 ---- ou , o que é a mesma coisa:
z = 1 - i <--- Esta é a raiz para n = 4.

v) Assim, resumindo-se temos que as respostas para as questões "a" e "b" são, respectivamente:

a) 4 números complexos diferentes (pois são 4 raízes diferentes);
e
b) Esses 4 números serão: "-1-i", "-1+i", "1+i" e "1-i".

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.