Question

Considera a função: f (x) =$\sqrt[4]{x}$

Calcule f'(x), x>0

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0 =256

Use esta equação para obter um valor aproximado de $\sqrt[4]{256,32}$

coloquei uma image abaixo para no ter duvida

Answer 1

Bom, raiz quarta de x é o mesmo que x^1/4.

a) Pela derivação de potências de x, basta você colocar o expoente na frente do x e diminuir uma unidade do expoente, ou seja,
f'(x) = 1/4.x^ (-3/4) = x^(-3/4)/4 = [1/x^3/4)]/4 = 1/4x^(3/4) = 1/4.raiz quarta de x³


b) A reta tangente vai ser aquela em que passa pelo ponto desejado e tem inclinação igual a derivada. Ou seja, quando x = 256, y = 4. Temos o ponto (256,4), e a derivada neste ponto vai ser 1/4raiz quarta de 256³ = 1/4.4.4.4 = 1/256. Agora, substituindo:

y - 4 = 1/256 (x - 256)
y = x/256 - 1 + 4
portanto

y = x/256 + 3

c) Então, a sua função é y = raiz quarta de alguma coisa, no caso, esse alguma coisa é 256,32. Daí você substitui o valor de x na equação por 256,32 pra achar o y, que já é o valor da função, e portanto, da raiz quarta. Assim:

y = 256,32/256 + 3
y = 256,32/256 +  768/256
y = 1024,32/256
y = 4,00125.