Question

Considera a equação

$2 (x + 2)^2 = 24$
1- Escreve a equação na sua forma canónica

2-Sem resolver a equação, verifica que tem raízes

3-Resolve a equação, utilizando a fórmula resolvente ​

Answer 1

Resposta:

1) 2 x² + 8x - 16   = 0   forma canónica

2) Δ = 192  logo Δ > 0  assim tem duas soluções reais e distintas

3) Conjunto solução = {  - 2 -  2√3 ; - 2 +  2√3 }

Explicação passo-a-passo:

Pedido:  

Considera a equação  

2 * ( x + 2 )² = 24

1 - Escreve a equação na sua forma canónica  

2 - Sem resolver a equação, verifica que tem raízes  

3- Resolve a equação, utilizando a fórmula resolvente

Resolução:

1 - Escreve a equação na sua forma canónica  

→ Para poder escrever a forma canónica de uma equação do 2º grau

é preciso ter todos os termos no 1º membro e o 2º membro vir zero.

→ Não podem aparecer parêntesis.

→ Em primeiro lugar fica o termo em " x² ", a seguir o termo em " x " e depois o termo independente ( não tem "x")

2 * ( x + 2 )² = 24

1º passo - desembaraçar do parêntesis curvo

( x + 2 )²

Tem-se aqui um caso notável → " quadrado de uma soma "

( x + a )²

A solução desse produto notável será sempre o polinómio a seguir:

( x    +    a )² =  x² + 2 * x * a + a²

 ↑          ↑

1º T      2º T   que é 1º termo e 2º termo

O desenvolvimento deste produto notável, está no 2º membro e lê-se

da seguinte maneira:

" Quadrado do 1º termo + dobro do produto do 1º termo pelo segundo termo + quadrado do 2º termo "  

2 * ( x² + 2* x * 2 + 2² ) = 24

⇔ 2 * ( x² + 4x + 4 ) = 24

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

2 * x² + 2 * 4x + 2 * 4 = 24

Passar "24" do 2º membro para 1º, trocando o sinal

⇔ 2 x² + 8x + 8 - 24  = 0

⇔ 2 x² + 8x - 16   = 0  forma canónica

2 - Sem resolver a equação, verifica que tem raízes  

Para isso estudar o sinal do Δ

a =   2

b =   8

c = - 16

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 8² - 4 * 2 * ( - 16 )

Δ = 64 + 128 = 192

Δ = 192  logo Δ > 0   assim tem duas soluções reais e distintas

3- Resolve a equação, utilizando a fórmula resolvente

x = ( - b ± √Δ) / 2*a

√192 pode ser simplificada ;     192 =2² *2² *2²  * 3

√( 2² *2² *2²  * 3 ) = 2 * 2 * 2 *√3

x = ( - 8 ±  8√3 ) / 4

no numerador colocar em evidência 4 , para cancelar com o 4 do denominador

⇔ x = 4 * ( - 2 ±  2√3 ) / 4

⇔ x =  - 2 ±  2√3

x' =  - 2 +  2√3

x'' = - 2 -  2√3

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Sinais: ( * ) multiplicar     (⇔) equivalente a     ( ± ) mais ou menos

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários.

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.