Question

Conhecendo os numeros complexos Z1 = 6.(cos pi/6+i.sen pi/6) e Z2 = raiz3.(cos 2pi/3+i.sen 2pi/3) pode-se afirmar que Z1 . Z2 é igual a 

a) 3+2 raiz2i

b) -9+3 raiz3i

c) -18+2 raiz3i

d) 12+9 raiz2i

e) 6+12 raiz6i

Em anexo segue a questão , desde de já agradeço quem poder me ajudar!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, João, que a resolução é simples.
Tem-se:

z₁ = 6*[cos(π/6) + isen(π/6)]
e
z₂ = √(3)*[cos(2π/3 + isen(2π/3)]

Pede-se o produto, expresso na forma algébrica, de z₁*z₂ .

Assim, faremos:

z₁*z₂ = 6*√(3)*[cos(π/6+2π/3) + isen(π/6+2π/3)] ---- desenvolvendo, teremos:
z₁*z₂ = 6√(3)*[cos(5π/6) + isen(5π/6)] ----- note que 5π/6 é a soma de π/6+2π/3.

Agora note que 5π/6 = 150º. E sendo assim, teremos que:

cos(150º) = - √(3)/2
e
sen(150º) = 1/2 .

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

z₁*z₂ = 6√(3)*[-√/3)/2 + i*1/2] --- ou apenas:
z₁*z₂ = 6√(3)*[-√(3)/2 + i/2] ---- efetuando o produto indicado, ficaremos:
z₁*z₂ = -6√(3)*√(3/)/2 + 6*√(3)i/2 ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
z₁*z₂ = -6*3/2 + 6√(3)i/2
z₁*z₂ = -18/2 + 6√(3)i/2 ---- dividindo-se cada fator por "2", ficaremos finalmente:
 
z₁*z₂ = - 9 + 3√(3)i <--- Esta é a resposta. É a opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.