Question

Conhecendo o período de revolução da terra em torno do sol e o raio médio da órbita da Terra, igual a 1,5 . 10¹¹m, determine a massa do sol (Adote, G= 6,67 . 10-¹¹ N . m²/kg²)

Answer 1

Olá.

A força gravitacional de atração do sol pela Terra é a resultante centrípeta do movimento. Consideremos a Terra com massa m e o Sol com massa M:

$\dfrac{G\not mM}{R^2} = \not m\omega^2R\\ \\ GM = \omega^2 R^3\\ \\ GM = \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 R^3\\ \\ \dfrac{GM}{4\pi^2} = \dfrac{R^3}{T^2}\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{T^2}{R^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}}$

Conhece essa fórmula :) ? É a Terceira Lei de Kepler. Vamos isolar a massa M e substituir os dados:

$M = \dfrac{4\pi^2\cdot R^3}{GT^2}$

Mas como temos tudo no SI, o período deve ser em segundos:

1 ano = 365 dias =  31536000 s

Assim:

$M = \dfrac{4\pi^2\cdot(1,5\cdot10^{11})^3}{6,67\cdot10^{-11}\cdot(3,15\cdot10^{7})^2}\\ \\ \\ \boxed{M = 2,01\cdot10^{30} \ kg}$