Question

[CONFERIR ANEXO] O conjunto solução da inequação |x2 + 2x – 2| ≥ – x2 é:

A REPOSTA É ALTERNATIVA a), mas pq???

Answer 1

A resposta é a letra $\text{(A) }\left]\,-\infty,+\infty\,\right[$.


$\bullet\;\;$ O lado esquerdo é uma expressão envolvida pelo módulo. Logo, para qualquer valor real de $x$, o lado esquerdo da inequação nunca será negativo, ou seja, o lado esquerdo só pode ser positivo ou zero. Então,

$\left|x^{2}+2x-2\right|\geq 0$

para todo $x$ real.


$\bullet\;\;$ O lado direito é o oposto do quadrado de $x$. Para qualquer valor real de $x$, $x^{2}$ nunca é negativo. Então $-x^{2}$ nunca será positivo. Então, o lado direito da inequação só pode ser negativo ou zero. Então,

$-x^{2}\leq 0$

para todo $x$ real.


Combinando as expressões, chegamos à conclusão que para todo $x$ real

$-x^{2}\leq 0\leq \left|x^{2}+2x-2\right|\\ \\ \Rightarrow -x^{2}\leq \left|x^{2}+2x-2\right|\\ \\ \Rightarrow \left|x^{2}+2x-2\right| \geq -x^{2}$


Como todos os números reais satisfazem a inequação, então o conjunto solução desta inequação é todo o conjunto dos números reais:

$S=\mathbb{R}=\left]\,-\infty,+\infty\,\right[$