Question

Confeccione uma caixa a partir de uma folha de cartolina de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento, a fim de que seu volume interno seja o maior possível.

Answer 1

Conforme bem indicado na figura, se considerarmos que a caixa terá $x$ cm de altura, então a sua base terá $30-2x$ cm de comprimento e $16-2x$ cm de largura.

Além disso, estas medidas têm que ser positivas, ou seja:

$x>0 \: \: e \: \: x<8$

O volume será dado pela multiplicação destas 3 medidas.

$V= x (30-2x)(16-2x) = \\</p><p>=(30x-2x^2)(16-2x) = \\</p><p>=480x-60x^2-32x^2+4x^3 = \\</p><p>=4x^3-92x^2+480x$

Para saber o valor máximo desta função temos que a derivar e ver os pontos de inflexão.

Temos: $V^{'}=12x^2-184x+480</p><p>$. Donde os pontos de inflexão são $V^{'}=0$. Resolvendo a equação temos

$</p><p>12x^2-184x+480=0 \\</p><p>x=\frac{184 \pm \sqrt{(-184)^2 -4 \times 12 \times 480}}{2\times 12} \\</p><p>x=\frac{184 \pm \sqrt{33856 - 23040}}{24} \\</p><p>x=\frac{184 \pm 104}{24} \\</p><p>x=\frac{184 - 104}{24} \vee x=\frac{184 + 104}{24} \\</p><p>x=\frac{80}{24} \vee x=\frac{288}{24} \\</p><p>x=\frac{10}{3} \vee x=12</p><p>$

Como estamos à procura de um número menor que 8 à partida o 12 está excluído, mas vamos calcular o valor de V para cada um destes pontos, para confirmar.

$</p><p>V(\frac{10}{3})=\frac{10}{3}\times (30-\frac{20}{3}) \times (16-\frac{20}{3}) = \\</p><p>=\frac{10}{3}\times \frac{90-20}{3} \times \frac{48-20}{3}=\\</p><p>=\frac{10\times 70 \times 28}{27}=</p><p>\frac{19600}{27} \\ \\</p><p>V(12)=12\times (30-24) \times (16-24) = -576$

Então o volume da caixa é maior quando $x=\frac{10}{3}$.