Question

Conceitue :Equação Vetorial

Answer 1

Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único elemento de sua imagem.Repare que, nos exemplos estudados nas seções desse capítulo, para cada valor do parâmetro t, existe um único vetor posição  (t) que determina a posição da partícula em cada instante. Desse modo, podemos entender essa correspondência como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função de valor vetorial .O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudarmos movimentos de partículas no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z = h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial  (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k.Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este vetor, então o caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva no espaço ou uma curva espacial cuja parametrização é dada pela equação anterior. Se considerarmos a função vetorial  (t) = < f(t), g(t), h(t) > , então  (t) é um vetor de posição do ponto P(f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C. Assim, qualquer função vetorial  define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor  (t) em movimento, como é ilustrado na figura ao lado.

Equação Vetorial e Equações Paramétricas da RetaNo plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação.Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir.Considere uma reta L, um ponto  (  ) pertencente a L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de  e de P , respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais considerado, ro =  e r = . Se a é o vetor com representante  , como mostra a figura ao lado, pela regra do trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro, isto é, r = ro + a . Mas, como a e v são vetores paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a = t v onde t é um número real. Assim, r = ro + t v , que é a equação vetorial da reta L. Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e, consequentemente, as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto  , cujo vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do parâmetro t fornece um vetor posição r de um ponto de L.