Question

Comprove se os segmentos que tem extremidade nos pontos A(-2,4), B(1,1).C(5,5) formam
um triângulo retângulo e calcule sua área.​

Answer 1

Primeiro vamos verificar se estes vértices formam um triângulo retângulo. Vamos achar os vetores AB, AC e BC:

$\vec{AB}=B-A\\\\\vec{AB}=(1,1)-(-2,4)\\\\\vec{AB}=(1-(-2), 1-4)\\\\\vec{AB}=(3,-3)\\\\\\\vec{AC}=C-A\\\\\vec{AC}=(5,5)-(-2,4)\\\\\vec{AC}=(5-(-2), 5-4)\\\\\vec{AC}=(7, 1)\\\\\\\vec{BC}=C-B\\\\\vec{BC}=(5,5)-(1,1)\\\\\vec{BC}=(5-1, 5-1)\\\\\vec{BC}=(4,4)$

Para que o triângulo seja retângulo o produto escalar entre dois dos três vetores deve ser 0 (indicando que eles são ortogonais)

$\vec{AB}*\vec{AC}=(3,-3)*(7,1)\\\\\vec{AB}*\vec{AC}=21-3\\\\\vec{AB}*\vec{AC}=18\\\\\\\vec{AB}*\vec{BC}=(3,-3)*(4,4)\\\\\vec{AB}*\vec{AC}=12-12\\\\\vec{AB}*\vec{AC}=0$

Portanto, sim, o triângulo é retângulo

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Agora para determinarmos sua área: a área de um triângulo pode ser dado por : $A=\frac{|D|}{2}$, onde D é o determinante da matriz:

                                      $\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2&4&1\\1&1&1\\5&5&1\end{array}\right]$

Calculando o determinante pela regra de Sarrus:

$D=(-2.1.1)+(4.1.5)+(1.1.5)-[(4.1.1)+(-2.1.5)+(1.1.5)]\\\\D=-2+20+5-(4-10+5)\\\\D=23-(-1)\\\\D=24$

E por fim a área:

$A=\frac{|D|}{2}\\\\A=\frac{|24|}{2}\\\\A=12$