Question

comprimento de uma curva y = x^5/6+1/10x³

Answer 1

Temos a seguinte função de uma curva:

$y = \frac{x {}^{5} }{6} + \frac{1}{10x {}^{3} }$

A questão quer saber o comprimento dessa curva no intervalo de [1,2]. Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

$L = \int\limits_ {a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) {}^{2} } \: dx$

Onde a e b são os valores do intervalo e dy/dx a derivada da função ao quadrado. Então como será necessário a derivada, vamos iniciar por ela:

$y = \frac{x {}^{5} }{6} + \frac{1}{10x {}^{3} } \: \to \: y' = \frac{5x {}^{4} }{6} - \frac{3}{10x {}^{4} }$

Substituindo os dados na fórmula:

$L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{5x {}^{4} }{6} - \frac{3}{10x {}^{4} } \right)^{2} } \: dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{5x {}^{4} \: . \: 10x {}^{4} - 6 \: . \: 3}{6 \: . \: 10 {x}^{4} } \right)^{2} } dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{50x {}^{8 } - 18 }{60x {}^{4} } \right)} \: dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{25x {}^{8} - 9}{30x {}^{4} } \right)^{2} } dx$

Agora vamos usar uma propriedade de potência:

$L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \frac{(25x {}^{8} - 9) {}^{2} }{(30x {}^{4}) {}^{2} } } dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{1 + \frac{625x {}^{16} - 450x {}^{8} + 81}{900x {}^{8} } } \: dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{ \frac{900x {}^{8} + 625x {}^{16} - 450x {}^{8} + 81}{900x {}^{8} } } \: dx \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \sqrt{ \frac{625x {}^{16} + 450x {}^{8} + 81}{900x {}^{8} } }$

Agora vamos usar uma propriedade de radiciação:

$L = \int\limits_ {1}^{2} \frac{ \sqrt{625x {}^{16} + 450x {}^{8} + 81 } }{ \sqrt{900x {}^{8} } } \\ \\ L = \int\limits_ {1}^{2} \frac{ \sqrt{625x {}^{16} + 450x {}^{8} + 81 }}{30x {}^{4} }$

Esse polinômio do numerador é um trinômio quadrado perfeito, então podemos fatorá-lo apenas tirando a raiz das extremidades:

$L = \int\limits_ {1}^{2} \frac{ \sqrt{(25x {}^{8} + 9) {}^{2} } }{30x {}^{4} } \: dx$

Podemos cortar o radical com expoente 2:

$L = \int\limits_ {1}^{2} \frac{25x {}^{8} + 9}{30x {}^{4} } \: dx \: \to \:L = \frac{1}{30} \int\limits_ {1}^{2} \frac{25x {}^{8} + 9}{x {}^{4} } \: dx \\ \\ L = \frac{1}{30} \int\limits_ {1}^{2} (25x {}^{8} + 9).(x {}^{ - 4} ) \: dx \: \to \: L = \frac{1}{30} \int\limits_ {1}^{2} 25x {}^{4} + \frac{9}{x {}^{4} }$

Integrando essa função pela regra da potência:

$L = \frac{1}{30} \left[5x {}^{5} - \frac{3}{x {}^{3} } \right] \bigg|_{1}^{2}$

Por fim, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$L = \frac{5.2 {}^{5} }{30} - \frac{3}{30.2 {}^{3} } - \left( \frac{5.1 {}^{5} }{30} - \frac{3}{30.1 {}^{3} } \right) \\ \\ L = \frac{160}{30} - \frac{1}{80} - \frac{5}{30} + \frac{3}{30} \\ \\ L = \frac{158}{30} - \frac{1}{80} \\ \\ L = \frac{80.158 - 30.1}{30.80} \\ \\ L = \frac{12640 - 30}{2400} \\ \\ \boxed{ L = \frac{1261}{240}\:u.c }$

Espero ter ajudado