Question

Complexos (De Moivre) / Período Trigonométrico

Unicamp

(...)

a) Calcular (√3 + i)¹².

b) Sendo z = (√2 * (1 + i)) / 2, calcular o valor de :

1 + z + z² + z³ + ... + z¹⁵.

Answer 1

Boa noite, João.

Propriedade:

$z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|cis(\theta_1+\theta_2)$


Usaremos a fórmula de De Moivre. A rigor:

$z^n = |z|^n[\cos n\theta+i\sin n\theta]$

Mas por ser cansativo e desnecessário, vamos escrever aquela soma apenas com as letras iniciais:

$z^n=|z|^ncis(n\theta)$


Então esse item a) possui uma solução trivial, bastando calcular o argumento. 

$\theta = arctg[Im(z)/Re(z)]\\ \\ \theta = arctg(1/\sqrt3)\\ \\ \theta \in 1^\circ Q\\ \\ \theta = \pi/6$

$z^{12} = |z|^{12} cis(12\pi/6)\\ \\ z^{12} = \left[\sqrt{\sqrt3^2+1^2}\ \right ]^{12} [cos(2\pi) + isen(2\pi)]\\ \\ z^{12} = 2^{12}(1 + 0)\\ \\ \boxed{z^{12} = 2^{12} = 4096}$


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b) Agora precisamos observar com cuidado essa questão. Não é conveniente calcular separadamente cada uma dessas potências. Vamos fazer alguns casos, calculando o módulo antos:

$|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt2}{2})^2 + (\frac{\sqrt2}{2})^2}\\ \\ |z| = 1\\ \\ \theta = arctg(1) = \pi/4$

$z_1 = cis(\pi/4)\\ z_2 = cis(2\pi/4)\\ z_3 = cis(3\pi/4)\\ \vdots\\ z^{15} = cis(15\pi/4)$

Nessa parte poderíamos olhar a periodicidade dos complexos, mas vou preferir ter outra sacada: note que os argumentos vão se somando em PA, e do produto de complexos, vemos que multiplicamos o módulo e somamos os argumentos. Quando temos vários produtos por um mesmo fator, temos uma PG, e nos casos de potências de complexos, a razão é dada por: $q=|z|cis(\theta)$ 
Note que isso é válido em nossa sequência, e que 1 = z⁰.

          Temos uma soma dos termos de PG

Então aplicamos a soma de 1 até $z^{15}$ , onde $a_1 = 1$ e $a_{16} = z^{15}$, onde q = cis(45º)


$S_n = \dfrac{a_1( q^n-1)}{q-1}$

$S_{16} = \dfrac{1[cis(\pi/4)^{16}-1]}{cis(\pi/4)-1}\\ \\ \\ S_{16} = \dfrac{cis(4\pi)-1}{\frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}-1}\\ \\ \\ S_{16} = \dfrac{1-1}{\frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}-1}\\ \\ \\ \boxed{S_{16} = 0}$

Answer 2

a) $(\sqrt{3}+1)^{12}$

Para a resolução da questão, utilizarei a fórmula:

$(a+bi)^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))$

Assim:

$(\sqrt{3}+i)^{12}=|z|^{12}*(cos(12x)+i*sin(12x))$

$x=arctan(\frac{b}{a})$
$x=arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$
$x=arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$
$x=30^o$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$
$|z|=\sqrt{3+1}$
$|z|=\sqrt{4}$
$|z|=\sqrt{2}$

$(\sqrt{3}+i)^{12}=2^{12}*(cos(12*30^o)+i*sin(12*30^o))$
$(\sqrt{3}+i)^{12}=4096*(cos(360^o)+i*sin(360^o))$
$(\sqrt{3}+i)^{12}=4096*(1+i*0)$

$\boxed{(\sqrt{3}+i)^{12}=4096}$


b) 

$z=\frac{\sqrt{2}*(1+i)}{2}$
$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2}$

$(a+bi)^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))$
$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))$

$x=arctan(\frac{b}{a})$
$x=arctan(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}})$
$x=arctan(1)$
$x=45^o$

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
$|z|=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}$
$|z|=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}$
$|z|=\sqrt{\frac{4}{4}}$
$|z|=\sqrt{1}$
$|z|=1$

$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=1^n*(cos(n*45^o)+i*sin(n*45^o))$
$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=cis(n*45^o)$

$\sum^{15}_{n=0} {z^n}=\sum^{15}_{n=0} {cis(n*45^o)}$

Chegamos, após muitos cálculos que a soma requerida é igual a soma de todos os senos e cossenos dos ângulos 0º, 45º 90º ... 15*45º=675º

Se analisarmos bem, todos esses ângulos cortam uns aos outros, pois eles formam exatamente 2 voltas completas no círculo trigonométrico, pois são 16 ângulos separados por 45º e em apenas uma volta, há 8 desses:(0º,45º,90º,135º,180º,225º,270º,315º)

Por exemplo: o cosseno de 0º corta com de 180º, o seno de 45º corta com o seno de 45º+180º=225º.... E assim ocorre com todos os ângulos do somatório.

Portanto:

$\boxed{\sum^{15}_{n=0} {z^n}= 0}$

Bons estudos!