Question

Complete o quadro abaixo , descobrindo as raizes,soma das raizes e produto das raizes


ME AJUDA PFVR

Answer 1

Equação                          raízes        soma das raízes       produto das raízes
x² + 2x - 8 = 0              S = {-4, 2}               -2                                    -8
x² - 9x + 18 = 0            S = {3, 6}                 9                                    18
x² + 4x - 5 = 0              S = {-5, 1}               -4                                    -5
x² - 5x + 4 = 0              S = {1, 4}                 5                                      4
x² + 5x = 0                   S = {-5, 0}                -5                                     0  

Answer 2

PARA A PRIMEIRA LINHA DA TABELA:

x' = 2

x'' = -4

Sabemos que uma equação do segundo grau fatorada possui o seguinte formato:

$ax^2+bx+c = a(x-x')(x-x'')$

Substituindo-se x' e x''

$\\ ax^2+bx+c = a(x-2)(x-(-4)) \\ \\ ax^2+bx+c = a(x-2)(x+4)$

Essa equação pode possui vários valores para "a"

Vamos fazer "a =1''

$\\ ax^2+bx+c = 1(x-2)(x+4) \\ \\ ax^2+bx+c = x*x +4x -2x-2*4 \\ \\ ax^2+bx+c = x^2+2x-8$

A soma das raizes é: x' + x''

$\\ S = x'+x'' \\ \\ S = 2+(-4) = -2$

O produto das raizes é x'x''

$\\ P = x'x'' \\ \\ P = 2*-4 = -8$
-----------------------------------------------

PARA A SEGUNDA LINHA DA TABELA:

A soma das raizes é x' + x'' = 9


$S = x' + x'' = 9$

O Produto é x'x'' = '8

$P = x'x'' = 18$

Lembrando que:


$\\ x'+x'' = - \frac{b}{a} \\ e \\ x'x'' = \frac{c}{a}$

Mas, x' + x'' = S = 9

e ,  x'x'' = P = 18

Então, 

$\\ x'+x'' = 9 \\ \\ x'x'' = 18$

Isolando x' na segunda equação:

$\\ x'x'' = 18 \\ \\ x' = \frac{18}{x''}$

Substituindo x' = 18/x'' na primeira equação:

$\\ x' + x'' = 9 \\ \\ \frac{18}{x''} +x'' = 9 \\ \\ x''*( \frac{18}{x''} +x'') =x''*9 \\ \\ 18 + (x'')^2 = 9x'' \\ \\ (x'')^2-9x'' + 18 = 0$

Calculando basckara:

a = 1
b = -9
c = 18

Δ = b² -4ac

Δ = (-9)² -4×1×18

Δ = 81 -72

Δ = 9

$\\ x'' = \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{DELTA} }{2a} \\ \\ x'' = \frac{-(-9) \frac{+}{-} \sqrt{9} }{2*1} \\ \\ x'' = \frac{9\frac{+}{-}3}{2} \\ \\ x'' = \frac{9+3}{2} = 6 \\ \\ ou \\ \\ x'' = \frac{9-3}{2} = 3$


Então,

As raízes dessa equação é 6 e 3.


$\\ ax^2+bx+c = a(x-x')(x-x'')$

Então:

$\\ ax^2+bx+c = a(x-3)(x-6)$

Fazendo a = 1

$\\ ax^2+bx + c = 1(x-3)(x-6) \\ \\ ax^2+bx + c = x*x-6x-3x-3*-6 \\ \\ ax^2+bx + c = x^2-9x+18$
--------------------------------------------------

PARA TERCEIRA LINHA DA TABELA

Vamos resolver de um jeito simples. Você PODERÁ utilizar esse mesmo conceito na questão anterior resolvida.


Sabemos que:

$ax^2+bx +c = ax^2-Sx+P$

Onde S é a soma, e  P o produto das raízes.

Como "S = -4 e P = -5

Então:

$ax^2+bx +c = ax^2-(-4x)-5$

$ax^2+bx+c = ax^2+4x-5$

Fazendo a = 1

$ax^2+bx +c = x^2+4x-5$

Agora nos perguntamos:

Qual número que somado seja -4
E multiplicado seja -5 ?

Esses números só podem ser:

x' = -5
x'' = 1

OBS = -5+1 = -4, e  -5×1 = -5

Portanto, as raízes serão: -5 e 1
---------------------------------------------

PARA A QUARTA LINHA DA TABELA:

Raízes = 4 e 1

Sabemos que:


$\\ ax^2+bx + c = a(x-x')(x-x'')$

Então:

$ax^2+bx + c = a(x-1)(x-4)$

Escolhendo a = 1

$\\ ax^2+bx + c = 1(x-1)(x-4) \\ \\ ax^2+bx + c = x*x-4x-1x-1*-4 \\ \\ ax^2+bx + c = x^2-5x +4$

Soma das raízes = x' + x''

$\\ S = x'+x'' = 1+4 \\ \\ S = 5$

O produto das raízes é = x'x''


$\\ P = x'x'' = 1*4 \\ \\ P = 4$
------------------------------------------------

PARA A QUINTA LINHA DA TABELA

Temos que:

x' = -5
x'' = 0

Vamos resolver por outro método:

Sabemos que:

$\\ x'+x'' =S$

Logo,

$\\ -5+0 = S \\ \\ S = -5$

E também sabemos que:

$P =x'x''$

Logo,

$\\ P = -5*0 \\ \\ P = 0$

Uma maneira fácil de achar a equação seria saber que:

$ax^2+bx +c = ax^2-Sx+P$

Substituindo-se S = -5 e P = 0

$\\ ax^2+bx +c = ax^2+5x+0 \\ \\ ax^2+bx + c = ax^2+5x$

Fazendo a = 1

$ax^2+bx + c = x^2+5x$