Question

Complete o quadrado no trinômio 9x²+5x+9 , isto é, reescreva essa expressão na forma 9(x+u)²+v , onde u e v são números. Calcule o valor de 36(u+v)

Answer 1

⠀⠀Completando o quadrado do trinômio dado, determinamos os valores de u e v e assim obtemos que 36(u + v) = 309.

⠀

Resolução

⠀⠀Temos o trinômio 9x² + 5x + 9 e desejamos completar seu quadrado. O método de completar quadrados consiste em reescrever um trinômio em um quadrado perfeito somado à um numero que faça o desenvolvimento da expressão voltar a seu estado original. Veja que a questão pede para reescrevermos na forma 9(x + u)² + v, onde u e v são números que devemos encontrar para determinar o valor de 36(u + v). Primeiro de tudo, vamos igualar a expressão à zero, e como nove é o fator comum, vamos colocá-lo em evidência com os dois primeiros termos, de modo a encontrar:

                                           $\Large\begin{array}{c}9x^2+5x+9=0\\\\9\bigg(x^2+\dfrac{5}{9}x\bigg)+9=0\end{array}$

⠀⠀Os termos que estão dentro do parênteses devem formar um trinômio quadrado perfeito, e para isso eles devem ser somados à um número ao quadrado, vou chamar de b² (lembrando que a soma deve ser feita em ambos os membros):

                                $\Large\begin{array}{c}9\bigg(x^2+\dfrac{5}{9}x+b^2\bigg)+9=0+9(b^2)\end{array}$

⠀⠀Assim, com base no produto notável a² + 2ab + b² = (a + b)², perceba que o termo a² = x² ∴ a = x e 2ab = 5/9 x, então falta encontrarmos o termo b², e para isso podemos pensar em fazer:

⠀

$\large\begin{array}{l}2ab=\dfrac{5}{9}x\\\\b=\dfrac{5}{9}x\cdot\dfrac{1}{2a}\\\\b=\dfrac{5}{9}x\cdot\dfrac{1}{2x}\\\\b=\dfrac{5}{18}\end{array}$

⠀

⠀⠀Dessa forma, se b = 5/18 então b² = (5/18)² = 25/324:

⠀

                        $\Large\begin{array}{c}9\bigg(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\bigg)+9=9\bigg(\dfrac{25}{324}\bigg)\\\\9\bigg[(x)^2+2\cdot x\cdot\dfrac{5}{18}+\bigg(\dfrac{5}{18}\bigg)^{\!\!\!2}\,\bigg]+9=\dfrac{25}{36}\\\\9\bigg(x+\dfrac{5}{18}\bigg)^{\!\!\!2}+9-\dfrac{25}{36}=0\\\\9\bigg(x+\dfrac{5}{18}\bigg)^{\!\!\!2}+\dfrac{324}{36}-\dfrac{25}{36}=0\\\\9\bigg(x+\dfrac{5}{18}\bigg)^{\!\!\!2}+\dfrac{324-25}{36}=0\\\\\!\boldsymbol{\boxed{9\bigg(x+\dfrac{5}{18}\bigg)^{\!\!\!2}+\dfrac{299}{36}}}\end{array}$

⠀

⠀⠀Com o quadrado do trinômio inicial completado, veja que comparando-o à forma 9(x + u)² + v temos u = 5/18 e v = 299/36, logo podemos encontrar o valor da expressão desejada:

⠀

                                   $\Large\begin{array}{c}36(u+v)=\,?\\\\36(u+v)=36\bigg(\dfrac{5}{18}+\dfrac{299}{36}\bigg)\\\\36(u+v)=36\bigg(\dfrac{10}{36}+\dfrac{299}{36}\bigg)\\\\36(u+v)=36\bigg(\dfrac{10+299}{36}\bigg)\\\\36(u+v)=\diagdown\!\!\!\!\!36\bigg(\dfrac{309}{\diagdown\!\!\!\!\!36}\bigg)\\\\\!\boldsymbol{\boxed{36(u+v)=309}}\end{array}$

⠀

⠀⠀Conclui-se, portanto, que 36(u + v) é igual a 309.

⠀

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

Veja mais sobre:

https://brainly.com.br/tarefa/37982439

https://brainly.com.br/tarefa/38023505