Matemática, perguntado por gabrielzerb, 1 ano atrás

Completar quadrados essa equação 2x²-2x=24

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver a equação do segundo grau - equação quadrática - pelo método "Completar Quadrados", concluímos que seu conjunto solução é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3,\,4\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma equação do segundo grau para a forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')^{2} + k = 0\end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases} x' = Raiz\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:\mathbb{R}\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x^{2} - 2x = 24\end{gathered}$}$

Para começar a operação de completar quadrados, devemos passar todos os termos para o primeiro membro e dividir pelo coeficiente do termo de "x²", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x^{2} - 2x - 24 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{2x^{2}}{2} - \frac{2x}{2} - \frac{24}{2} = \frac{0}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x - 12 = 0\end{gathered}$}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x = 12\end{gathered}$}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x + \bigg(\frac{-1}{2}\bigg)^{2} = 12 + \bigg(\frac{-1}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}} = 12 + \frac{(-1)^{2}}{2^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{4}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{49}{4}\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bigg(x - \frac{1}{2}\bigg)^{2 }= \frac{49}{4}\end{gathered}$}$

Como estamos querendo resolver a equação pelo método completar quadrados, então devemos continuar os cálculos, até obtermos as raízes. Então, fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - \frac{1}{2} = \pm\sqrt{\frac{49}{4}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} + \frac{1}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\frac{7}{2} + \frac{1}{2}\end{gathered}$}$

Obtendo as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x' = -\frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = -\frac{6}{2} = -3\\x'' = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\end{cases}$