Question

Completando quadrados, resolva.

x²+6x+2=0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3 - \sqrt{7},\,-3 +\sqrt{7}\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a expressão do segundo grau:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 2 = 0\end{gathered}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x = -2\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + \bigg(\frac{6}{2}\bigg)^{2} = -2 + \bigg(\frac{6}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + 6x + \frac{6^{2}}{2^{2}} = -2 + \frac{6^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + \frac{36}{4} = -2 + \frac{36}{4}\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 9 = -2 + 9\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 9 = 7\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3)^{2} = 7\end{gathered}$

Como estamos querendo também resolver a equação, devemos continuar com os cálculos, ou seja:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 3) = \pm\sqrt{7}\end{gathered}$      

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 3\pm\sqrt{7}\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da equação é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{-3 - \sqrt{7},\,-3 +\sqrt{7}\}\end{gathered} }$    

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