comparação entre as cônicas.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
As cônicas ou secções cônicas são curvas obtidas pela intersecção de um plano com um cone duplo. De acordo com a inclinação desse plano, a curva será chamada de elipse, hipérbole ou parábola.
Quando o plano está paralelo ao plano da base do cone, a curva é uma circunferência sendo considerada um caso particular da elipse. Conforme aumentamos a inclinação do plano, encontramos as demais curvas, como mostrado na imagem abaixo:
A intersecção de um plano com o vértice do cone pode ainda dar origem a um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes. Neste caso, são chamadas de cônicas degeneradas.
O estudo das secções cônicas iniciou na Grécia antiga, onde foram identificadas diversas das suas propriedades geométricas. Entretanto, foi necessário alguns séculos para que a utilidade prática dessas curvas fosse identificada.
Elipse
A curva gerada quando um plano corta todas as geratrizes de um cone é chamada de elipse, neste caso, o plano não é paralelo a geratriz.
Desta forma, a elipse é o lugar geométrico dos pontos no plano cuja a soma das distâncias (d1 + d2) a dois pontos fixos do plano, chamados de foco (F1 e F2), é um valor constante.
A soma das distâncias d1 e d2 é indicada por 2a, ou seja 2a = d1 + d2 e a distância entre os focos é chamada de 2c, sendo que 2a > 2c.
A maior distância entre dois pontos pertencentes à elipse é chamada de eixo maior e seu valor é igual a 2a. Já a menor distância é chamada de eixo menor e é indicada por 2b.
O número é chamado de excentricidade e indica o quanto a elipse é "achatada".
Temos ainda a seguinte relação:
a2 = b2 + c2
Sendo
a: medida do semi-eixo maior
b: medida do semi-eixo menor
c: metade da distância focal
Equação reduzida
Podemos representar uma elipse usando um plano cartesiano, conforme figura abaixo:
Neste caso, a elipse possui centro na origem do plano e focos no eixo Ox. Desta forma, sua equação reduzida é dada por:
Se os focos estiverem sobre o eixo Oy e centro na origem, a equação reduzida será igual a:
Parábola
Quando um plano intercepta um cone com uma inclinação paralela a uma de suas geratrizes, a figura que surge é uma parábola.
Sendo assim, a parábola é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um plano, que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo.
Esse ponto fixo é chamado de foco da parábola e a reta recebe o nome de diretriz. A reta que passa pelo foco, perpendicular a diretriz, é chamada de eixo de simetria da parábola.
O vértice é o ponto de intersecção entre a parábola e o seu eixo, sendo que a distância entre o vértice e o foco é igual a distância do vértice a reta diretriz.
Equação reduzida
Representando uma parábola em um plano cartesiano com o vértice coincidindo com a origem dos eixos e considerando c igual a distância entre o foco e o vértice, temos 4 situações possíveis.
1º) Eixo de simetria coincidente com o eixo Oy e reta diretriz y = - c, a equação será: x2 = 4 cy.
3º) Eixo de simetria coincidente com o eixo Oy e reta diretriz y = c, a equação será: x2 = - 4 cy.
4º) Eixo de simetria coincidente com o eixo Ox e reta diretriz x = c, a equação será: y2 = - 4 cx.
Hipérbole
Hipérbole é o nome da curva que surge quando um cone duplo é interceptado por um plano paralelo ao seu eixo.
Assim, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos no plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos do plano (foco) é um valor constante.
A diferença das distâncias d1 e d2 é indicada por 2a, ou seja 2a = | d1 - d2 |, e a distância entre os focos é dada por 2c, sendo que 2a < 2c.
Representando a hipérbole no eixo cartesiano, temos os pontos A1 e A2 que são os vértices da hipérbole. A reta que liga esses dois pontos é chamada de eixo real.
Temos ainda indicado os pontos B1 e B2 que pertencem a mediatriz da reta e que liga os vértices da hipérbole. A reta que liga esses pontos é chamada de eixo imaginário.
A distância do ponto B1 à origem do eixo cartesiano é indicada, na figura, por b e é tal que b2 = c2 - a2 .
Equação reduzida
A equação reduzida da hipérbole com os focos localizados no eixo Ox e o centro na origem é dada por:
Caso os focos estejam sobre o eixo Oy e centro também na origem, a equação será: