Question

Como x^3+1 se transforma em (x+1)(x^2-x+1)????

Answer 1

Vamos começar lembrando que um polinômio pode ser escrito como:

$a_nx^n+...+a_2x_2+a_1x^1+a_0~=~\boxed{a_n(x-r_n).~...~.(x-r_2).(x-r_1)}$

Onde, rn, r2 e r1 são as raízes do polinômio.

Vamos então tentar achar uma raízes para a função x³+1:

$x^3+1~=~0\\\\\\x^3~=~-1\\\\\\x~=~\sqrt[3]{-1}\\\\\\\boxed{x~=~-1}$

Temos então a primeira raiz da função com valor -1, ou seja, até agora podemos reescrever o polinômio como:

$x^3+1~=~(x-(-1))~.~(??????)\\\\\\\boxed{x^3+1~=~(x+1)~.~(???????)}$

Precisamos descobrir a expressão que corresponde ao (??????). Podemos fazer isso com uma divisão polinomial, acompanhe:

$x^3+1~=~(x+1)~.~(???????)\\\\\\\boxed{(??????)~=~\frac{x^3+1}{x+1}}$

Vamos então efetuar esta divisão polinomial:

$~~~~~x^3+1~~~~|\underline{x+1}\\-~~~~~~~~~~~~~~~x^2\\~~~~~~x^3+x^2\\~~~~----\\~~~~-x^2+1~\,~|\underline{x+1}\\-~~~~~~~~~~~~~~~x^2-x\\~~~~-x^2-x^}\\~~~~----\\~~~~~~~x+1~\,~~~|\underline{x+1}\\-~~~~~~~~~~~~~~~x^2-x+1\\~~~~~~~x+1^}\\~~~~----\\~~~~~~~~~0$

Como podemos ver o resultado da divisão polinomial foi x²-x+1 e, portanto, podemos reescrever o polinômio x³+1 como:

$\boxed{x^3+1~=~(x+1).(x^2-x+1)}$

Obs.: Poderiamos ter escrito o "x²-x+1" em função de suas raizes, no entanto, como estas raizes são complexas, prefere-se deixar  na forma como foi apresentado.